2. Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Алгебра линейных операторов и ее связь с алгеброй матриц

Понятие линейного пространства было введено ранее. Дадим понятие линейного подпространства.

Определение 1. Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства над числовым множеством , если наряду с двумя произвольными элементами принадлежащими ему принадлежит и любая линейная комбинация ( числа).

Например, пространство двумерных геометрических векторов является подпространством трехмерных геометрических векторов В подпространстве существует свой базис, который можно выбрать из базисных векторов пространства .

Введем теперь понятие линейного оператора. Сначала заметим, что любое отображение пространства в пространство ставящее в соответствие каждому элементу единственный элемент по закону называется оператором (действующим из пространства в пространство ).

Определение 2. Оператор называется линейным оператором, если выполняются свойства³:

а) б)

Свойства а) и б) можно объединить в одно:

Например, оператор ставящий в соответствие каждому столбцу столбец будет линейным оператором, так как

Этот оператор называется оператором проектирования. В качестве другого важного примера можно указать на оператор, являющийся матрицей размера . Этот оператор действует из пространства в пространство Действительно,

Значит, оператор действует из пространства в пространство Далее, из определения действий над матрицами вытекает свойство для любых столбцов и любых чисел Поэтому матрица является линейным оператором.

Обозначим через множество всех линейных операторов В этом множестве естественным образом вводятся линейные операции над операторами:

(при получаем сумму операторов и , при получаем умножение оператора на число). Нетрудно показать, что пространство является линейным пространством. Можно ввести даже операцию умножения операторов и

Если то в множестве всех линейных операторов будут определены линейные операции и операция умножения операторов. Такое множество называется алгеброй операторов.

Важным понятием в линейной алгебре является понятие матрицы линейного оператора. Введем его. Пусть оператор является линейныым и пусть Зафиксируем в пространстве базис . Тогда любой вектор можно записать в виде Точно так же, если в пространстве зафиксировать базис то любой вектор можно записать в виде

Так как образы базисных векторов принадлежат пространству то их можно (согласно (4)) разложить по базису

Если ввести матрицу то совокупность последних равенств можно записать в виде

Полученную таким образом матрицу называют матрицей оператора Сформулируем это понятие более точно.

Определение 3. Матрицей оператора в базисе называется матрица (размера ), й столбец которой является координатным столбцом образа (образа го базисного вектора пространства ) в базисе

Пример 3. Пусть пространство является пространством квадратных трехчленов: =

= Выберем в нем базис Тогда каждый элемент пространства можно записать в виде

Найдем матрицу оператора дифференцирования (здесь ). Так как то

Следовательно, матрица оператора (согласно определению 3) имеет вид

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если и матрицы операторов и соответственно (в одном и том же базисе ), то матрицами операторов

( числа) и в том же базисе будут соответственно матрицы

Из этой теоремы вытекает, что линейные операции над операторами и операция умножения операторов можно заменить на аналогичные операции над их матрицами. Поэтому, например, вместо того, чтобы решить операторное уравнение достаточно решить матричное уравнение а затем восстановить вектор (здесь матрица оператора в базисе координатные столбцы векторов и в том же базисе).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Выбрав в пространстве квадратных трехчленов базис (см. пример 2), запишем данное дифференциальное уравнение в матричной форме

Его решением является вектор-столбец

Значит, решением данного уравнения будет функция где произвольная постоянная. Заметим, что мы нашли все решения данного уравнение в пространстве квадратных трёхчленов. Не исключено, что оно имеет и другие решения, не входящие в пространство .

Пример 4. Даны линейные преобразования в пространстве

Построить преобразование и найти его матрицу в стандартном базисе пространства

Решение. Воспользуемся теоремой 2. Если и матрицы операторов и в базисе то матрицей оператора в том же базисе будет матрица Построим эту матрицу, а затем восстановим по ней само преобразование . Вычисляя образы базисных векторов для операторов и , построим их матрицы:

Вычисляем матрицу

Значит,

Лекция 6. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису. Ядро и образ оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов

В предыдущей лекции были определены две алгебры: алгебра линейных операторов и алгебра матриц. Было отмечено, что обе эти алгебры взаимосвязаны между собой и что при решении операторных уравнений можно пользоваться соответствующими им матричными уравнениями. Однако не был затронут вопрос об изменении матрицы оператора и координат вектора при переходе к новому базису. Восполним этот пробел.