9.1 Применение формализма Лагранжа при построении математических моделей су.

В соответствии с рассматриваемым классом объектов алгоритм формирования их ММ должен обеспечивать построение моделей механической, электрической и других частей САУ. Формализм Лаграгжа представляет единый алгоритм машинного вывода уравнений, одинаково пригодный для всех частей САУ. Это обстоятельство определило выбор формализма Лагранжа за основу при разработке алгоритмов вывода уравнений САУ.

Для вывода уравнений динамики блоков и систем приняты уравнения Лагранжа второго рода:

Где T( ) – кинетическая энергия системы, скалярная функция, зависящая от координат, скоростей, моментов инерции и масс системы; - обобщенные координаты и скорости, t – время; Qi(t) – обобщенные силы.

Обозначим вектор обобщенных координат механической части через

Yⁿ=(y₁,y₂,…,y_n)

и вектор обобщенных координат электрической части через

Y^N-n=(y_n+1,y_n+2,…,y_N)

Кинетическая энергия всей системы может быть представлена выражением:

Где m_il, L_kj – механические массы и электромагнитные коэффициенты индукции

Обобщенные силы внешних воздействий (для электрической части – источники напряжений):

Q = Q_м + Q_е = (Q₁, Q₂, ..., Q_N);

Введем обобщенные силы демрфирования (связанные с изменением энергии системы при рассеянии):

R = (R₁, R₂, ..., R_N),

где

здесь h_si, r_sj - механические и электрические сопротивления;

Потенциальная энергия всей системы может быть представлена выражением:

где d_il, c_kj - коэффициенты упругости и электростатические коэффициенты индукции.

С учетом определенных выражений уравнения Лагранжа записываются в виде

Данное уравнение может быть преобразовано исходя из экономичности вычислительного процесса. Вид уравнений зависит от выбора обобщенных координат, т.е. от выбора системы координат (СК). Задавая матрицы преобразования одной СК в другую, можно получать различные формы уравнений динамики.

Построение ММ «механической части» САУ с применением формализма Лагранжа состоит из следующих операций:

1. Выбор системы координат связанных с отдельными элементами механической части устройства

2. Выбор обобщенный координат

3. Определение проекций угловых и линейных скоростей элементов механической части устройства на соответствующие оси координат

4. Составление выражение для потенциальной и кинетической энергии и обобщенных сил демпфирования

5. Определение обобщенных сил

6. Определение производных в соответствии с уравнениями Лагранжа

7. Составление уравнений Лагранжа

При построении ММ «электрической части» САУ выполняется следующая последовательность действий:

1. Определяется количество узлов схемы

2. Определяется количество ветвей

3. Определить количество независимых обобщенных координат (или независимых контуров)

4. Выбираются независимые токи необходимые для исследования

5. Определяется конфигурация токов, так чтобы контурный ток был равен независимому.

Хорошая система АПСУ строится с использованием не только теории систем управления, но и некоторых теоретических и прикладных вопросов вычислительной техники и прикладной математики (численный анализ, методы оптимизации). Этим и объясняется, в частности, ограниченное число высокоэффективных АПСУ, которые в настоящее время находятся лишь в стадии становления.

В создании алгоритмическо-программного обеспечения современных инженерных исследований большое значение имеет Государственный фонд алгоритмов и программ, тщательно оттестированных на различных языках программирования. В то же время эффективность применения ЭВМ в проектировании систем управления еще невелика. Это объясняется в первую очередь отсутствием методических материалов для специалистов, призванных применять хорошо разработанный аппарат анализа и синтеза сложных систем, максимально используя современные средства вычислительной техники. Кроме того, применение вычислительных методов имеет свои особенности, без учета которых любой работоспособный в теоретическом отношении метод может быть неэффективен при решении конкретных задач.