
- •Введение
- •1. Задание и требования по выполнению расчетно-графической работы
- •2. Содержание расчетно-пояснительной записки
- •3. Краткая характеристика методов решения задач оптимизации
- •3.1. Задачи линейного программирования
- •3.1.1. Математические модели задач линейного программирования
- •3.1.2. Графический метод решения задачи лп
- •3.1.3. Симплекс-метод в задачах линейного программирования
- •3.1.4. Табличный симплекс-метод
- •3.2. Транспортные задачи линейного программирования
- •3.2.1. Нахождение опорного плана
- •3.2.2. Улучшение опорного плана
- •3.3. Задачи нелинейного программирования
- •3.3.1. Общие сведения
- •3.3.2. Квадратичное программирование
- •Список литературы
3.2.1. Нахождение опорного плана
Нахождение опорного плана покажем с помощью правила “северо-западного угла” и правила “минимального элемента”.
По правилу “северо-западного угла” заполнение таблицы начинается с левого верхнего элемента х11 матрицы Х (что и обусловило название правила):
х11 min(а1,b1),
при этом возможны три случая:
-если a1<b1, то х11 а1, а оставшаяся часть первой строки, начиная со второго элемента, заполняется нулями;
-если a1>b1, то х11 b1, а оставшиеся элементы первого столбца заполняются нулями;
-если a1 b1, то х11 а1 b1, а оставшиеся элементы первых строки и столбца заполняются нулями.
Затем вычисляются х12 min(а1-х11,b2) при a1>b1 или х21 min(а2,b1-х11) при a1<b1.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока матрица Х не будет полностью заполнена, т.е. ресурсы ai будут исчерпаны, а bj потребности удовлетворены.
Пример 3.5.
Пусть дана Т-задача с четырьмя пунктами
отправления ai
(i=
)
и четырьмя пунктами потребления bj
(j=
)
в виде исходной таблицы
Проверим условие
баланса:
,
откуда 190=190.
Определим опорный план
,
где
Стоимость полученного плана составляет
F(Х)
П
21
Клетки матрицы
Х0,
в которых стоят ненулевые перевозки,
являются базисными, их число удовлетворяет
условию r
m
n-1
7,
где r – ранг матрицы. Остальные клетки
– свободные, в них стоят нулевые
перевозки, число которых равно
(m-1)(n-1)
9.
Поэтому полученный план является не
только допустимым, но и опорным.
При составлении опорного плана некоторые из базисных переменных оказываются равными нулю. Такое решение называется вырожденным. Вырожденное решение может также возникать в процессе преобразования опорного плана, связанного с получением оптимального решения.
При оптимизационных исследованиях следует всегда иметь транспортную таблицу, содержащую (m n-1) базисных клеток. Для того чтобы план Т-задачи имел (m n-1) базисных переменных, необходимо в таблицу ввести число 0, соответствующее значению вводимой переменной. Это число заносится в соседнюю с последней занятой по строке или столбцу клетку, которая имеет наименьшую стоимость перевозки.
3.2.2. Улучшение опорного плана
Улучшение опорного плана можно обеспечить, используя, например, метод потенциалов, сущность которого состоит в следующем.
После получения начального опорного плана – Х0 рассчитываются для каждой базисной клетки Т-таблицы потенциалы ui и vj по формуле
ui
vj
cij
(
).
(3.25)
Для нахождения ui и vj одному из них придается произвольное значение (обычно u1 полагают равным нулю).
Далее по вычисленным значениям потенциалов определяются оценки для небазисных клеток
.
(3.26)
Затем анализируются
значения оценок
.
При этом, если окажется, что для всех
небазисных клеток
,
то план оптимален. Если имеется хотя бы
в одной клетке оценка
,
то план следует улучшить перемещением
перевозок по циклу. Цикл представляет
собой последовательное соединение
замкнутой ломаной линией некоторых
клеток, расположенных в одном ряду
(строке, столбце), причем число клеток
в одном ряду должно быть равно двум.
Цикл имеет четное число вершин, одна из
которых размещается в небазисной клетке,
в которой оценка
имеет наибольшее значение. Другие
вершины цикла размещаются в базисных
клетках Т-таблицы. Цикл начинается и
заканчивается выбранной небазисной
переменной (клеткой). Вершина цикла с
небазисной клеткой отмечается знаком
“+”. Далее в направлении обхода цикла
знаки вершин чередуются.
Построенный таким образом цикл позволяет улучшить опорный план путем перемещения по данному циклу перевозок и определения новых значений перевозок в вершинах цикла с учетом их знаков. Количество единиц перемещаемого продукта определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла.
Процедура улучшения плана продолжается до получения оптимального решения.
Можно рекомендовать следующий порядок действий при решении Т-задачи:
1. Составляется начальный опорный план.
2. Для полученного плана по уравнениям (3.25) определяются потенциалы ui и vj, соответствующие базисным клеткам.
3. По вычисленным
значениям потенциалов с помощью уравнений
(3.26) находятся оценки
для небазисных клеток.
4
23
,
план следует улучшить перемещением
перевозки по
циклу. При наличии нескольких оценок для построения цикла выбирается та, которая имеет наибольшее значение.
5. Процедура улучшения плана в соответствии с пп. 2-4 продолжается до получения оптимального решения.
Рассмотрим применение описанного алгоритма на примере 3.5, опорный план которого получен по правилу “северо-западного угла” и имеет вид
+
+
Определим значения потенциалов ui и vj по уравнениям (3.25), используя опорный план Х0 и матрицу стоимостей перевозок С.
u1 v1 c11; u3 v3 c33;
u2 v1 c21; u3 v4 c34;
u2 v2 c22; u4 v4 c44.
u2 v3 c23;
Из приведенных уравнений получаем
u1
0;
u2
2;
u3
9;
u4
7;
v1
1;
v2
2;
v3
1;
v4
6.
По вычисленным значениям потенциалов находим оценки, используя уравнения (3.26)
Оценка
имеет наибольшее положительное значение.
Этой оценке соответствует переменная
х32,
которая выбирается в качестве вводимой
в новое базисное решение.
Улучшим опорный план, осуществляя перемещение перевозок по замкнутому циклу, начальная вершина которого располагается в клетке с оценкой .
Новое улучшенное решение имеет вид
Стоимость перевозок по новому плану составляет
Построенный план является вырожденным, так как количество базисных переменных равно 6, а r (m n-1) 7.
Введем в базисное решение переменную х22 с нулевой перевозкой и проверим оптимальность нового плана вычислением новых потенциалов ui и vj и оценок .
Новые значения потенциалов: u1 0; u2 2; u3 2; u4 0; v1 1; v2 2; v3 1; v4 1.
Новые значения
оценок:
0;
10;
6;
4;
2;
3;
7;
1;
1;
4.
Как следует из
приведенных результатов вычислений,
новые оценки небазисных клеток
неположительны. Поэтому полученное
решение Т-задачи является оптимальным,
т.е. при
.