3.2. Транспортные задачи линейного программирования

Классическая транспортная задача ЛП формируется следующим образом.

Имеется М пунктов отправления (производства) А₁, А₂,…, А_m, в которых расположены запасы некоторого однородного продукта (груза). Объем этого продукта А_i составляет а_i единиц . Кроме того, имеется n пунктов потребления В₁, В₂,…, В_n. Объем потребления в пункте В_j составляет b_j единиц .

Предполагается, что из каждого пункта отправления возможна транспортировка продукта в любой пункт потребления. Известна также стоимость c_ij перевозки единицы продукта из пункта А_i в пункт В_j .

Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки пунктов потребления полностью выполнялись бы пунктами отправления, а общая стоимость перевозок (суммарные транспортные издержки) была бы минимальной.

При такой постановке данную задачу называют транспортной задачей по критерию стоимости.

Условия транспортной задачи (Т-задачи) можно представить в виде табл.3.6.

Таблица 3.6

П П ПО	В1	В2	…	Вn	Запасы ai
А1	c11	c12	…	c1n	a1
А2	c21	c22	…	с2n	a2
…	…	…	…	…	…
Аm	cm1	cm2	…	cmn	am
Заявки Bj	b1	b2		bn

В табл. 3.6 приняты обозначения: ПО – пункты отправления продукта; ПП – пункты потребления. Равенство, приведенное в нижнем правом углу таблицы, означает, что сумма заявок пунктов потребления равна сумме запасов продуктов в пунктах отправления.

Составим математическую модель сформулированной задачи. Обозначим x_ij – количество продукта, отправляемого из i-го пункта А_i в j-й пункт потребления В_j . Требуется определить множество переменных x_ij 0 (число которых очевидно равно ), удовлетворяющих условиям

, (3.21)

(3.22)

и доставляющих целевой функции

(3.23)

минимальное значение.

Условие (3.21) означает, что суммарное количество продукта, направленного из каждого пункта отправления во все пункты потребления, должно быть равно запасу этого продукта в данном пункте. Условия (3.22) означают, что суммарное количество продуктов,

доставляемых в каждый пункт потребления из всех пунктов отправления, должно быть равно заявленному количеству продуктов данным пунктом.

Из (3.21) и (3.22) следует, что Т-задача имеет ограничений-равенств.

Переменные , удовлетворяющие условиям (3.21) и (3.22), записываются в виде матрицы

. (3.24)

Матрица Х носит название плана перевозки, или просто плана Т-задачи, а переменные x_ij – перевозками. План Х^* называют оптимальным, если целевая функция имеет минимальное значение, т.е. стоимость всех перевозок является наименьшей.

Рассмотрим решение Т-задачи, основанное на преобразовании табл. 3.6 и состоящее из следующих основных этапов:

-определение опорного плана;

-оценка опорного плана;

-переход к лучшему плану.

Опорным планом Т-задачи называют любое ее допустимое базисное решение.

План x_ij называют допустимым, если он удовлетворяет условиям (3.21) и (3.22): все заявки удовлетворены, все запасы исчерпаны.