Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пичугин.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
23.11.2019
Размер:
972.29 Кб
Скачать

3.2.1. Нахождение опорного плана

Нахождение опорного плана покажем с помощью правила “северо-западного угла” и правила “минимального элемента”.

По правилу “северо-западного угла” заполнение таблицы начинается с левого верхнего элемента х11 матрицы Х (что и обусловило название правила):

х11 min(а1,b1),

при этом возможны три случая:

-если a1<b1, то х11 а1, а оставшаяся часть первой строки, начиная со второго элемента, заполняется нулями;

-если a1>b1, то х11 b1, а оставшиеся элементы первого столбца заполняются нулями;

-если a1 b1, то х11 а1 b1, а оставшиеся элементы первых строки и столбца заполняются нулями.

Затем вычисляются х12 min(а111,b2) при a1>b1 или х21 min(а2,b111) при a1<b1.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока матрица Х не будет полностью заполнена, т.е. ресурсы ai будут исчерпаны, а bj потребности удовлетворены.

Пример 3.5. Пусть дана Т-задача с четырьмя пунктами отправления ai (i= ) и четырьмя пунктами потребления bj (j= ) в виде исходной таблицы

Проверим условие баланса: , откуда 190=190.

Определим опорный план

,

где

Стоимость полученного плана составляет

F(Х)

П

21

ри построении опорного плана по правилу ”минимального элемента” вычисления проводятся следующим образом: находится элемент cij матрицы С с наименьшей стоимостью перевозки; начиная с этого элемента, последовательно нумеруются элементы матрицы С в порядке их возрастания; затем в том же порядке определяются элементы xij матрицы Х0 с использованием процедуры правила “северо-западного угла”. Правило “минимального элемента” позволяет построить опорный план с учетом матрицы стоимости перевозок, сокращая общее количество итераций по его оптимизации. Например, стоимость одного из опорных планов, построенных по данному правилу, составляет F(Х)=295, что по сравнению со стоимостью плана, полученного по правилу “северо-западного угла”, меньше на 35 ед.

Клетки матрицы Х0, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными, их число удовлетворяет условию r m n-1 7, где r – ранг матрицы. Остальные клетки – свободные, в них стоят нулевые перевозки, число которых равно (m-1)(n-1) 9. Поэтому полученный план является не только допустимым, но и опорным.

При составлении опорного плана некоторые из базисных переменных оказываются равными нулю. Такое решение называется вырожденным. Вырожденное решение может также возникать в процессе преобразования опорного плана, связанного с получением оптимального решения.

При оптимизационных исследованиях следует всегда иметь транспортную таблицу, содержащую (m n-1) базисных клеток. Для того чтобы план Т-задачи имел (m n-1) базисных переменных, необходимо в таблицу ввести число 0, соответствующее значению вводимой переменной. Это число заносится в соседнюю с последней занятой по строке или столбцу клетку, которая имеет наименьшую стоимость перевозки.

3.2.2. Улучшение опорного плана

Улучшение опорного плана можно обеспечить, используя, например, метод потенциалов, сущность которого состоит в следующем.

После получения начального опорного плана – Х0 рассчитываются для каждой базисной клетки Т-таблицы потенциалы ui и vj по формуле

ui vj cij ( ). (3.25)

Для нахождения ui и vj одному из них придается произвольное значение (обычно u1 полагают равным нулю).

Далее по вычисленным значениям потенциалов определяются оценки для небазисных клеток

. (3.26)

Затем анализируются значения оценок . При этом, если окажется, что для всех небазисных клеток , то план оптимален. Если имеется хотя бы в одной клетке оценка , то план следует улучшить перемещением перевозок по циклу. Цикл представляет собой последовательное соединение замкнутой ломаной линией некоторых клеток, расположенных в одном ряду (строке, столбце), причем число клеток в одном ряду должно быть равно двум. Цикл имеет четное число вершин, одна из которых размещается в небазисной клетке, в которой оценка имеет наибольшее значение. Другие вершины цикла размещаются в базисных клетках Т-таблицы. Цикл начинается и заканчивается выбранной небазисной переменной (клеткой). Вершина цикла с небазисной клеткой отмечается знаком “+”. Далее в направлении обхода цикла знаки вершин чередуются.

Построенный таким образом цикл позволяет улучшить опорный план путем перемещения по данному циклу перевозок и определения новых значений перевозок в вершинах цикла с учетом их знаков. Количество единиц перемещаемого продукта определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла.

Процедура улучшения плана продолжается до получения оптимального решения.

Можно рекомендовать следующий порядок действий при решении Т-задачи:

1. Составляется начальный опорный план.

2. Для полученного плана по уравнениям (3.25) определяются потенциалы ui и vj, соответствующие базисным клеткам.

3. По вычисленным значениям потенциалов с помощью уравнений (3.26) находятся оценки для небазисных клеток.

4

23

. Анализируются значения оценок . В случае, когда для всех небазисных клеток , план оптимален. Если имеется хотя бы в одной клетке оценка , план следует улучшить перемещением перевозки по

циклу. При наличии нескольких оценок для построения цикла выбирается та, которая имеет наибольшее значение.

5. Процедура улучшения плана в соответствии с пп. 2-4 продолжается до получения оптимального решения.

Рассмотрим применение описанного алгоритма на примере 3.5, опорный план которого получен по правилу “северо-западного угла” и имеет вид

 +

+ 

Определим значения потенциалов ui и vj по уравнениям (3.25), используя опорный план Х0 и матрицу стоимостей перевозок С.

u1 v1 c11; u3 v3 c33;

u2 v1 c21; u3 v4 c34;

u2 v2 c22; u4 v4 c44.

u2 v3 c23;

Из приведенных уравнений получаем

u1 0; u2 2; u3 9; u4 7; v1 1; v2 2; v3 1; v4 6.

По вычисленным значениям потенциалов находим оценки, используя уравнения (3.26)

Оценка имеет наибольшее положительное значение. Этой оценке соответствует переменная х32, которая выбирается в качестве вводимой в новое базисное решение.

Улучшим опорный план, осуществляя перемещение перевозок по замкнутому циклу, начальная вершина которого располагается в клетке с оценкой .

Новое улучшенное решение имеет вид

Стоимость перевозок по новому плану составляет

Построенный план является вырожденным, так как количество базисных переменных равно 6, а r (m n-1) 7.

Введем в базисное решение переменную х22 с нулевой перевозкой и проверим оптимальность нового плана вычислением новых потенциалов ui и vj и оценок .

Новые значения потенциалов: u1 0; u2 2; u3 2; u4 0; v1 1; v2 2; v3 1; v4 1.

Новые значения оценок: 0; 10; 6; 4; 2; 3; 7; 1; 1; 4.

Как следует из приведенных результатов вычислений, новые оценки небазисных клеток неположительны. Поэтому полученное решение Т-задачи является оптимальным, т.е. при .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.