3.1.3. Симплекс-метод в задачах линейного программирования

Симплекс-метод представляет собой метод направленного перебора крайних точек ОДР, т.е. перехода от одного базисного допустимого решения к другому, при котором значения целевой функции непрерывно возрастают (убывают).

Применение симплекс-метода связано с реализацией двух этапов:

определение начального базисного допустимого решения;

выполнение последовательного перехода от начального базисного допустимого решения к такому другому базисному допустимому решению, где значение целевой функции больше (меньше), чем в начальном базисе.

Определение начального базисного допустимого решения

Рекомендуется следующий порядок определения начального базисного допустимого решения:

исходная задача ЛП записывается таким образом, чтобы в правых частях ограничений все коэффициенты были бы не отрицательны;

полученная система уравнений ограничений записывается в расширенной форме путем использования дополнительных переменных;

анализируется матрица коэффициентов при дополнительных переменных расширенной формы записи уравнений ограничений. При этом, если матрица является единичной, что имеет место в том случае, когда при все исходные неравенства имели знак , то в качестве начального принимается базис А_n+1, A_n+2, … , A_n+m , а начальным базисным допустимым решением будет x₁=x₂=…=х_n=0; x_n+1=b₁, x_n+2=b₂, … , x_n+m=b_m.

В том случае, когда матрица коэффициентов при дополнительных переменных не является единичной (это может быть в случае, когда при хотя бы одно неравенство имеет знак ), то в соответствующем неравенстве должны быть дополнительно введены так называемые искусственные переменные х_n+m+1, x_n+m+2, … , число которых соответствует числу неравенств типа . Одновременно эти же переменные должны быть введены в целевую функцию с большим отрицательным коэффициентом (М) (при максимизации целевой функции). После выполнения этой операции вновь анализируются коэффициенты при дополнительных переменных и за базисные переменные принимаются те, при которых образуется единичная матрица.

Пример 3.2. Найти начальное базисное допустимое решение при ограничениях

Запишем задачу в расширенной форме

Матрица коэффициентов при х₃ и х₄ является единичной. Поэтому начальное базисное допустимое решение:

x₁=x₂=0; x₃=16; x₄=40.

Пример 3.3. Найти начальное базисное допустимое решение при ограничениях

Анализируем правые части неравенств: . Перепишем неравенства в виде

Запишем задачу в расширенной форме

Коэффициенты при переменных х₃, х₄, х₅ не образуют единичной матрицы. Введем искусственную переменную х₆

Коэффициенты при х₃, х₄, х₆ образуют единичную матрицу. Поэтому начальное базисное допустимое решение

x₁=x₂=x₅=0; x₃=1; x₄=0; x₆=2.

К

12

ритерий перехода от одного базисного решения к другому

Последовательный переход от начального базисного допустимого решения к такому другому допустимому решению, где значение целевой функции больше (меньше), чем в начальном базисе, осуществляется на основе симплекс-разности

(3.17)

где с_iвесовые коэффициенты при базисных переменных.

Симплексразность вычисляется для каждой переменной, не вошедшей в базисное решение. При этом выбирается такая переменная х_j, для которой симплекс-разность максимальна (при максимизации целевой функции). Это и является критерием перехода от одного базисного допустимого решения к другому.

Поясним решение задачи симплекс-методом на примере одной из его модификацийтабличного симплекс-метода.