- •Кафедра «Прикладная и вычислительная математика»
- •Введение
- •1. Вычисление определенных интегралов Справочная информация
- •Формула средних прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные задания
- •2. Решение нелинейных уравнений Справочная информация
- •Контрольные задания
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений Справочная информация
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Метод простых итераций
- •Программное обеспечение Excel’а
- •Контрольные задания
- •4. Интерполяция таблично заданных функций Справочная информация
- •Кусочно-линейная интерполяция
- •Контрольные задания
- •5. Аппроксимация таблично заданных функций Справочная информация
- •В заключении рассчитывается аппроксимирующая сглаживающая функция и строится её гладкий график, на котором точками отображаются значения исходной табличной функции.
- •Контрольные задания
- •6. Решение задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка Справочная информация
- •Усовершенствованный метод Эйлера
- •Оценка погрешностей методов
- •Контрольные задания
- •Список литературы
- •Содержание
Контрольные задания
С помощью одного из методов интерполяции сформировать образ кривой, визуально совпадающий с графиком заданной функции. В качестве такой функции взять левую часть алгебраического уравнения из лабораторной работы №2, которая соответствует номеру выполняемого варианта. В качестве отрезка интерполяции использовать указанный там же отрезок поиска корней. Точки интерполяции (в количестве 5–7 штук) распределить на заданном отрезке по своему усмотрению наилучшим образом.
5. Аппроксимация таблично заданных функций Справочная информация
И
Рис.1.
Через множество узловых точек таблично заданной функции можно провести бесконечное количество аппроксимирующих кривых. Задача выбора единственной из них определяется двумя основными моментами:
выбор аналитических зависимостей, отражающих физику взаимосвязи аргумента и реальной функции, когда должен быть определен общий вид приближающей функции;
выбор критерия достоверности описания реальной функции с помощью выбранных зависимостей.
Существует множество подходов к построению вида приближающей функции, как функции с параметрами. Одним из них является выбор в качестве аппроксимирующей зависимости линейной комбинации некоторых известных аналитических функций. Вместе они должны отражать суть физического процесса, описываемого исходной функцией, и быть линейно независимыми на отрезке аппроксимации [x1, xn]
.
Функции φk(x) часто выбираются в виде полиномов, частным случаем которых являются степенные функции
φ1(x) = 1, φ2(x) = x, φ3(x) = x2, φ4(x) = x3,…,
в виде тригонометрических косинусов
,
или в любом другом удобном для исследователя виде.
Другим подходом к построению приближающей функции является её представление сплайнами. Это избавляет исследователя от необходимости подбирать аналитические функции для аппроксимирующей зависимости и часто даёт результат, отвечающий всем требованиям, которые предъявляются к процессу аппроксимации.
В качестве критерия достоверности описания реальной функции Гауссом (1794) и Лежандром (A.M.Legendre, 1805) было предложено использовать сумму квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от ординат узлов таблично заданной
,
где отклонение от каждой узловой точки Δi, показанное на рис.2, вычисляется как
Рис.2.
Сумма квадратов отклонений F при таком представлении является квадратичной функцией от параметров аппроксимации c1, c2,..., cm. Очевидно, что чем меньше значение функции F, тем лучше выбранная аппроксимирующая функция описывает реальную функцию. Следовательно, задача аппроксимации сводится к определению значений параметров c1, c2, ..., cm, которые минимизируют значение критерия – функции F. Этот приём получил название «метод наименьших квадратов».
Необходимым условием экстремума квадратичной функции многих переменных F является равенство нулю всех её частных производных по параметрам c1, c2, ..., cm
.
Можно показать, что для функции F, являющейся суммой квадратов отклонений, достаточные условия существования её минимума в стационарной точке выполняются тождественно. Поэтому условиями существования экстремума функции F можно пользоваться как условиями её минимума, что позволяет привести задачу аппроксимации n значений табличной функции к задаче решения системы из m линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей относительно этих параметров
,
где
,
.
Работа метода может быть проиллюстрирована на примере аппроксимации функции, заданной 8-ю узловыми точками, показанными на рис.3, и поиска её значения при х = 1.5.
Д
Рис.3.
.
Необходимо заметить, что данное представление аппроксимирующей зависимости не является единственным. Можно подобрать и другие комбинации элементарных функций, которые отражают общий характер рассматриваемой табличной функции.
В соответствии с приведённым выше алгоритмом сумма F квадратов отклонений аппроксимирующей функции от узловых точек записывается в виде
Вычисления по этой формуле удобнее выполнять, сняв с графика координаты узловых точек и сформировав из них следующую таблицу
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
x |
0.5 |
0.5 |
1 |
1.5 |
1.5 |
2.5 |
3.5 |
4 |
y |
0.9 |
0.8 |
0.5 |
0.5 |
0.4 |
0.4 |
0.5 |
0.5 |
В этом случае сумма квадратов отклонений будет
а её частные производные по параметрам c1 и c2, соответственно
Исходя из условия равенства нулю полученных частных производных, решение задачи сводится к решению системы из двух линейных алгебраических уравнений
.
Эта система имеет следующее решение c1= 0.1047, c2= 0.4013. Таким образом, аппроксимирующая функция имеет вид
.
Её значения при табличных значения аргумента приведены ниже
x |
0.5 |
1 |
1.5 |
2.5 |
3.5 |
4 |
y |
0.8550 |
0.5060 |
0.4246 |
0.4223 |
0.4811 |
0.5191 |
С их помощью может быть вычислено значение целевой функции F
которое определяет погрешность аппроксимации
, ,
где норма таблично заданной функции была вычислена следующим образом
.
Решение этой задачи на ПЭВМ в программе Excel будет несколько отличаться от приведенного выше «ручного счета». Программа Excel не позволяет производить аналитические преобразования, поэтому при вычислении коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений следует использовать приведенные выше общие выражения. В данном случае они вычисляются с использованием следующих выражений:
, ,
,
, .
Решение задачи начинается с ввода исходных данных в виде таблицы значений сглаживаемой функции и её графика (см. рис.4). Затем выполняется вычисление коэффициентов системы уравнений, определяющей коэффициенты c1 и c2 аппроксимационной зависимости. Это делается в таблице, каждая строчка которой соответствует одной узловой точке. В последней строке столбцы суммируются для получения окончательных значений коэффициентов.
Система линейных алгебраических уравнений решается с использованием встроенной функции Excel’а построения обратной матрицы системы.