- •Кафедра «Прикладная и вычислительная математика»
- •Введение
- •1. Вычисление определенных интегралов Справочная информация
- •Формула средних прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные задания
- •2. Решение нелинейных уравнений Справочная информация
- •Контрольные задания
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений Справочная информация
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Метод простых итераций
- •Программное обеспечение Excel’а
- •Контрольные задания
- •4. Интерполяция таблично заданных функций Справочная информация
- •Кусочно-линейная интерполяция
- •Контрольные задания
- •5. Аппроксимация таблично заданных функций Справочная информация
- •В заключении рассчитывается аппроксимирующая сглаживающая функция и строится её гладкий график, на котором точками отображаются значения исходной табличной функции.
- •Контрольные задания
- •6. Решение задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка Справочная информация
- •Усовершенствованный метод Эйлера
- •Оценка погрешностей методов
- •Контрольные задания
- •Список литературы
- •Содержание
6. Решение задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка Справочная информация
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка
с
Рис.1.
.
Такая постановка задачи отыскания решения дифференциальных уравнений называется задачей Коши (A.L.Cauchy, 1789–1857). Для существования единственного решения задачи Коши необходимо и достаточно существование и ограниченность правой части дифференциального уравнения f(x, y) и её частной производной f(x, y)/y в некоторой окрестности начальной точки (x0, y0).
Для численного
решения задачи Коши существует множество
методов, которые условно делятся на две
группы: одношаговые и многошаговые. Все
эти методы позволяют получить искомое
решение дифференциального уравнения
в виде таблично заданной функции, в т
ой
или иной мере согласующееся с истинным
частным решением (см. рис.2). Эти группы
методов различаются объёмом информации,
которая используется для вычисления
координат очередной т
Рис.2.
Метод Эйлера (L.Euler, 1768)
О н является старейшим методом решения задачи Коши и заключается в последовательном применении следующих формул
,
,
,
г
Рис.3.
, .
Метод Эйлера относится к методам первого порядка точности, поскольку его решение совпадает с истинным только в том случае, когда последнее является линейной функцией y = a1+ a2x. Его абсолютная погрешность εабс(xk+1, h) на каждом шаге пропорциональна величине h2. Это обусловлено тем, что в качестве направления, определяющего положение следующей точки численного решения, используется касательная в левой точке каждого отрезка [xk, xk+1]. На рис.3 видно, что для получения более точного численного решения недостаточно знания параметров функции в единственной левой точке отрезка [xk, xk+1]. Требуется собрать дополнительную информацию о её поведении на отрезке интегрирования для отыскания решения при x = xk+1 с меньшей погрешностью. Для этого можно использовать некоторые промежуточные направления, определяемые касательными к графику неизвестного точного решения в характерных точках рассматриваемого отрезка (крайние точки, середина отрезка и т.д.).