20,22. Спектральна щільність одиночних (уніполярних) сигналів. Узагальнена формула Релея.
Спектральна щільність сигналів, що неінтегруються.
Узагальнена формула Релея: В дальнейшем нам понадобятся следующие вспомогательные результаты. Пусть два сигнала U(t) и V(t) связанны следующими преобразованиями.
(1)
(2)
Воспользовавшись записью сигнала в выражении (2) подставим ее в формулу скалярного произведения.
(3)
В формуле (3) внутренний интеграл есть спектральная плотность сигнала ,вычисленная при отрицательном значении частоты.
(5)
Если поменять порядок комплексного сопряжения, то получится.
(6)
Соотношения
(5,6) называют обобщенной формулой Рэлея.
Формулируется свойство в следующем
виде: Скалярное произведение двух
сигналов пропорционально произведению
плотностей этих сигналов, с точностью
до коэффициента
.
Воспользуемся
формулой Рэлея для определения
спектральных плотностей сигналов, не
удовлетворяющих условию абсолютной
интегрируемости, Для этого преобразуем
выражения (5,6) к виду.
Спектральна щільність сигналів, що не інтегруються:
Основным условием существования спектральной плотности есть условие интегрируемости и непрерывности сигнала ,однако не все типы сигналов в радиотехнике соответствуют этому условию.
Поэтому преобразование Фурье для нахождения их спектральной плотности в обычном виде к ним неприменимы. Однако даже при невыполнении условия абсолютной интегрируемости возможно определить спектральную плотность сигнала если воспользоваться фильтрующими свойствами дельта функции.
23. Спектральна щільність сигналу, зміщеного в часі.
Пусть
сигнал
существует на интервале от
до
.И ему в соответствие поставлена
спектральная плотность
.
При
задержке сигнала
на время
получим новую функцию от времени. Новая
функция существует в интервале времени
от
до
,
.
Спектральную плотность сигнала найдем так.
(11)
Из
(11) видно, что сдвиг во времени сигнала
S(t) на
величинy (t-t0)
приводит к изменению
фазовой характеристики его спектра
на величину
.
Справедливо обратное высказывание:
если всем составляющим спектра функции
дать фазовый сдвиг на
величину
,
то сама функция во временной области
сдвинется на величину
.
24,26 Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Основні властивості перетворення Фур’є.
Основным условием существования спектральной плотности есть условие интегрируемости и непрерывности сигнала ,однако не все типы сигналов в радиотехнике соответствуют этому условию.
Подобное
условие значительно сужает класс
допустимых функций. Например в указанном
смысле невозможно говорить о спектральной
плотности гармонического сигнала
,
который существует на всей бесконечной
оси времени. В подобных случаях
спектральная плотность все же определяется
и будет представлена обобщенными
функциями.
Основні властивості перетворення Фур’є.
Между сигналом и его спектральной плотностью существует однозначное соответствие. Для практических приложений важную роль играет связь между преобразованием сигнала и соответствующему этому преобразованию изменение спектра.
Рассмотрим основные свойства преобразований Фурье.
1.Линейность преобразования Фурье Если имеется некоторая совокупность сигналов , ,…и т.д., причем , ,…и т. д.,
(8)
-произвольные числовые коэффициенты.
2.Свойство вещественной и мнимой части спектральной плотности.
3.Спектральная плотность сигнала, смещенного во времени
4.Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба измерения времени.
5.Спектральная плотность производной и интеграла сигнала.
6.Спектральная плотность произведения двух сигналов.