25. Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Умови існування спектральної щільності сигналу.

Основным условием существования спектральной плотности есть условие интегрируемости и непрерывности сигнала ,однако не все типы сигналов в радиотехнике соответствуют этому условию.

Подобное условие значительно сужает класс допустимых функций. Например в указанном смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала , который существует на всей бесконечной оси времени. В подобных случаях спектральная плотность все же определяется и будет представлена обобщенными функциями.

27. Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Спектральна щільність аналогових сигналів. Пари перетворень Фур’є.

Основным условием существования спектральной плотности есть условие интегрируемости и непрерывности сигнала ,однако не все типы сигналов в радиотехнике соответствуют этому условию.

Подобное условие значительно сужает класс допустимых функций. Например в указанном смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала , который существует на всей бесконечной оси времени. В подобных случаях спектральная плотность все же определяется и будет представлена обобщенными функциями

Спектральный анализ и его математический аппарат можно распространить на класс сигналов, называемых непериодическими. Среди них наибольший интерес в РТ представляют неполярные или одиночные импульсы. Пусть одиночный сигнал задан некоторой функцией, отличной от 0 на интервале времени от t₁ до t₂. Выделим произвольный интервал времени от t₁ до t₂ ,который является подмножеством интервала T и мысленно расположим в каждом интервале T эквивалентные импульсы. Можно считать данный сигнал периодическим, а значит он может быть разложен в ряд Фурье.

где

Коэффициенты данного ряда определяются из выражения.

В ряде (3) учтено, что период равен . Вне отрезка времени от 0 до t ряд (1) определяет периодическую функцию , полученную повторением сигнала с периодом Т. Для того чтобы вне отрезка времени от 0 до t функция равнялась нулю ве­личина T должна быть бесконечно большой.. Устремляя период в бесконечность получаем бесконечно малые коэффициенты С_n, сумма которых изображает указанную непериодическую функцию . Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье будет бесконечно большим, так как . Расстояние между ними будет стремиться к нулю т.к. расстояние между спектральными составляющими равно и стремится к нулю. Иными словами спектр становится сплошным.

АЧС (периодич)

В связи с тем, что спектр становится сплошным вводится поня­тие спектральной плотности, которая является мерой количества энергии на единицу частоты.

На основе данных рассуждений дискретная частота не будет изменяться дискретно, а за­меняется на непрерывную частоту , а .

После соответствующих преобразований перейдем к двойному интегралу Фурье.

(4)

Внутренний интеграл в выражении (4) является функцией частоты. Это и есть спектральная плотность:

прямое преобразованием Фурье.

обратное преобразование Фурье для сигнала .