2.1 1. Гармонические колебания

Поскольку простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции синус и косинус (их период равен 2π), то простейшим одномерным периодическим движением будет такое движение материальной точки, при котором ее координата х изменяется по закону

x(t) = A cos(ω₀t + α), x(t) = A sin(ω₀t + α₁), (1)

где А, ω₀, α, α₁ – некоторые постоянные величины.

Такое периодическое движение называется гармоническим колебательным движением, а частица (материальная точка), совершающая гармонические колебания, - гармоническим осциллятором. Термины «маятник», «осциллятор», «колебательная система» будем считать тождественными.

Величины А и ω₀ имеют простой физический смысл. Так как период косинуса и синуса равен 2π, то период движения Т (период колебаний) связан с ω₀ соотношением

T = 2π/ω₀. (2)

Это соотношение легко получить из условия, что частица в моменты времени t и (t + T) имеет одинаковые координаты

х (t) = (t + T). (3)

Из (3) и (1) вытекает, что

ω₀ = 2π/T = 2π ν. (4)

Величину ω₀ называют циклической (круговой) частотой. Единица измерения циклической частоты - радиан в секунду (рад/c), ν – частота колебания, измеряемая в герцах (Гц).

Максимальное значение координаты х называется амплитудой колебания. Так как максимальное значение косинуса и синуса любого переменного аргумента равно единице, то максимальное значение координаты х при гармонических колебаниях равно А (рис. 1)

Аргумент косинуса или синуса в (1)

φ (t) = ω₀t + α (5)

называют фазой колебаний. Из (5) следует, что при t = 0

α = φ, (6)

поэтому постоянную величину α называют начальной фазой.

Из (1) (мы будем везде в дальнейшем преимущественно использовать первую формулу для х(t)). Легко найти скорость частицы, совершающей гармонические колебания. Взяв производную по времени от первого выражения из (1), получим

v_x = dx/dt = -A ω₀ sin (ω₀t + α) = A ω₀ cos(ω₀t + α + π/2). (7)

Как видим, при гармонических колебаниях скорость частицы изменяется также по гармоническому закону, но изменение скорости ”опережает по фазе ” изменение координаты на величину ¹/₂ π. Иначе говоря, разность фаз колебаний скорости и координаты равна ¹/₂ π. При этом в те моменты времени, когда координата x достигает экстремальных значений ± А, скорость частицы обращается в нуль, и наоборот. Максимальное по модулю значение скорости (ее амплитуда) равно

v_max = A ω₀ . (8)

Выясним, какова должна быть результирующая сила F_x = действующая на частицу, чтобы она совершала гармонические колебания. Найдем для этого ускорение частицы при таком движении. Продифференцировав (7) по времени, получим

a_x = = - A ω² ₀ cos(ω₀t + α), (9)

или с учетом фазы относительно (1)

a_x = - ω₀ ²x = A ω² ₀ cos(ω₀t + α + π). (10)

Если учесть второе выражение в (1), то получим результаты, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Описание кинематических характеристик колебаний

1. x(t) = A sin (ω t + φ) 2. v = x'(t) = ω A cos(ω t + φ) 3. a = v'(t) = - ω2 A sin (ω t +φ )	x(t) =A cos(ω t + φ) v = x'(t) = - ω A sin(ω t + φ) a = v'(t) = - ω2 A cos(ωt + φ)
φ = 0
x(t) = A sin ∙ ω t v = ω A cos ω t = ω A sin (ω t + ) = ω A(sin ω t · cos + cos ω t · sin ) = ω A cos ω t 6. a = - ω2 A sin ω t = ω2 A sin(ω t + π)	x(t) = A cos ω t 5. v = - ω A sin ω t = ω A· cos(ω t + ) = ω A(cos ω t · cos -sin ω t · sin ) = - ω A sin ω t 6. a = - ω2 A cos ω t = ω2 A  cos (ω t + π)
7. tg φ = ; A2 =	7. tg φ = - ; A2 =
8. A cos ω t + B sin ω t = cos(ω t – δ)
cos δ =	sin δ =
9. A cos ω t + B sin ω t = sin(ω t + δ)
sin δ =	cos δ =

Из (10) видно, что ускорение изменяется со временем по такому же закону, что и координата частицы, но фаза колебаний ускорения отличается от фазы координаты на π. Наибольшее по модулю значение ускорения (его амплитуда)

a_max = A ω₀² . (11)

Из второго закона Ньютона для движения частицы массой m

m = = ,

записанного в проекции на направление движения частицы с учетом (10) получим

ma_х = F_x , F_x = -m ω₀ ²x. (12)

Таким образом, для того чтобы частица совершала гармонические колебания, действующая на нее результирующая сила должна быть пропорциональна величине смещения частицы и направлена в сторону, противоположную этому смещению. Такую силу называют восстанавливающей (или возвращающей).

Зависимость силы от положения частицы в виде (12) встречается в физических задачах очень часто. Если какое-либо тело находится в положении устойчивого равновесия (пусть это будет точка x = 0), то в этом положении = = 0, а при этом смещении тела из этого положения в ту или другую сторону возникает отличная от нуля результирующая сила , действующая на тело и стремящаяся вернуть его в положение равновесия. При этом график зависимости F_x (x) будет иметь вид некоторой кривой: в точке x = 0 сила F_x = 0, а по обе стороны от этой точки она имеет противоположные знаки (рис. 2).

В общем случае зависимость возвращающей силы от x не является линейной. Это означает, что хотя тело и будет совершать колебания около положения равновесия, но колебания не будут гармоническими. Однако при небольших смещениях тела из положения равновесия отрезок кривой F_x вблизи x = 0 можно всегда приближенно заменить отрезком прямой линии так, что сила F_x окажется пропорциональной величине отклонения x, и колебания тела будут гармоническими. Частота этих колебаний определяется жесткостью закрепления тела, характеризующей связь между силой и смещением. Если сила связана со смещением по линейному закону

F_x = - kx (13)

(где k – некоторый коэффициент, определяемый свойствами рассматриваемой системы, называемый коэффициентом восстанавливающей (возвращающей) силы), то из сравнения (13) с выражением для силы при гармонических колебаниях (12) следует, что

k = m ω²₀ (14)

и циклическая частота гармонических колебаний

ω₀ = , (15)

а период колебаний T = = 2π . (16)

Как видим, частота и период колебаний зависят только от свойств системы (жесткости закрепления тела около положения

Рис.1. Простое гармоническое колебание. А – амплитуда, Т - период

Рис.2. Один из вариантов нелинейной зависимости силы от смещения

U(0) = 0 x

Рис.3. Смещение, возвращающая сила и начало отсчета потенциальной энергии

равновесия и от его массы), но не от амплитуды колебаний. Одно и то же тело, производя колебания с разной амплитудой, совершает их с одинаковой чистотой. Это очень важное свойство гармонических колебаний. Напротив, амплитуда колебаний А и начальная фаза α определяются не только свойствами колеблющейся системы, но и начальными условиями ее движения, т.е. начальным смещением из положения равновесия x₀ = х(t = 0) и скоростью υ₀= υ(t = 0). Из (1) и (7), получим

(17)

Решив систему уравнений (17) относительно А и α, находим

A = , α = - arctg . (18)

Заметим, что однозначное определение угла α (определение четверти, в которой он находится) производится с учетом (17)

Если систему каким-либо образом заставили совершать колебания (например, сместив из положения равновесия на х₀ или сообщив начальную скорость v₀) и предоставили самой себе, то возникающие колебания называют собственными колебаниями, а частоту колебаний – собственной частотой.

Используя выражение для возвращающей силы (13), нетрудно найти потенциальную энергию колеблющейся частицы. Будем считать, что потенциальная энергия U (x) равна нулю в положении равновесия x = 0 (нулевой уровень потенциальной энергии (рис. 3)). По определению потенциальной энергии она равна работе силы F (x) при перемещении частицы из смещенного положения x на нулевой уровень

U_x = A (F) (19)

Поскольку сила F (x) направлена к положению равновесия и линейно зависит от x, то ее работа при таком смещении будет положительной и равной

A = <F> (x – 0) = x = . (20)

Следовательно, потенциальная энергия гармонического осциллятора

U = , (21)

или, учитывая (15)

U = . (22)

Кинетическая энергия осциллятора

T = (23)

Подставив (2) и (3) в (23) и (24), получим

U = cos² (ω₀ t + α) = (1 + cos 2(ω₀ t + α)) (24)

T = sin² (ω₀ t + α) = (1 - cos 2(ω₀ t + α)) (25)

т.е. и потенциальная, и кинетическая энергии частицы в процессе колебания изменяются со временем, причем таким образом, что когда одна из них увеличивается, другая – уменьшается. Колебания энергий происходят с удвоенной частотой колебаний осциллятора. Полная же энергия гармонического осциллятора

E = T + U = = const (26)

остается все время постоянной и равной максимальной кинетической энергии

T_max = (27)

или, что то же самое, максимальной потенциальной энергии

U_max = (28)

Другими словами, процесс колебаний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Средние же (за период колебаний) значения потенциальной и кинетической энергий одинаковы и каждое из них равно 0,5E:

< T > = < U > = 0,5E. (29)