Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский институт экономики, управления и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задания по математическому анализу (Часть I) дл...doc

Скачиваний:

Добавлен:

22.11.2019

Размер:

6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Определённый и несобственный интегралы

Задание 45. Вычислить определённый интеграл.

Задание 46. Вычислить определённый интеграл.

Задание 47. Найти несобственный интеграл или доказать, что он расходится.

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

а) ,

б) .

Задания с экономическим содержанием

Указание: вместо n подставить номер вашего варианта.

Задание 48. Функции спроса и предложения на некоторый товар на рынке описываются зависимостями вида: .

Найти:

наибольшую равновесную цену ;
пределы отношений спроса и предложения, характеризующие различные изменения ситуации на рынке:

; ; ; ;

эластичность спроса на товар в точке равновесной цены .

Задание 49. Пусть количество реализованного товара, при этом функции затрат и дохода описываются зависимостями вида:

Определить:

средние и предельные издержки при ;
найти максимум прибыли: .

Задание 50. В моделях потребительского спроса используются функции Торнквиста, моделирующие связь между величиной дохода (Q) и величиной спроса потребителей (S). Рассмотрим функцию Торнквиста, моделирующую спрос потребителей на предметы роскоши: .

Провести полное исследование этой функции и построить её график.
Провести экономическую интерпретацию результатов.

Задание 51. Пусть количество реализованного товара, функция предельных издержек имеет вид: .

Найти аналитический вид функции средних издержек.
Определить величину средних издержек при изменении на отрезке [10;20].

Образцы решения заданий контрольной работы

Задание 1. Доказать, что , указать .

Доказательство:

Согласно определению предела числовой последовательности необходимо для любого найти номер такой, что при любых выполнялось неравенство .

Рассмотрим модель .

Так как можно записать цепочку неравенств .

То есть, поскольку нам не требуется найти наименьшее , можно записать , откуда и в этом случае — целая часть числа .

Итак, получается, что при выполнено неравенство , что и требовалось доказать.

Задание 2. Вычислить предел числовой последовательности .

Решение:

Для раскрытия неопределённости данного вида преобразуем выражения, стоящие под знаками пределов, поделив и числитель, и знаменатель на наибольшую степень . Для этого сначала определим наибольшую степень числителя, а затем знаменателя.

Для числителя имеем: ~ и ~ , следовательно, получим , а для знаменателя — ~ , т. е. тоже .

Поделим и числитель, и знаменатель на :

Следовательно, .

Задание 3. Вычислить предел числовой последовательности .

Решение:

Заметим, что , а , поэтому

Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела .

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:

Итак, .

Задание 4. Вычислить предел функции .

Решение:

Задание 5. Вычислить предел: .

Решение:

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на множители. Заметим, что . Так как при , значит, делится на .

Поделим «столбиком» многочлен на двучлен :

_


_

_

0

Следовательно,

Задание 6. Вычислить предел функции .

Решение:

Задание 7. Вычислить предел функции

Решение:

Задание 8. Вычислить предел функции .

Решение:

Задание 9. Вычислить предел функции .

Решение:

Раскроем эту неопределенность, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю и преобразуем результат:

Задание 10. Вычислить предел функции .

Решение:

Заметим, что , а , поэтому

Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела .

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:

Итак, .

Задание 11. Вычислить предел функции .

Решение:

Заметим, что , а , поэтому искомый предел равен , т. е. .

Задание 12. Вычислить предел функции .

Решение:

Воспользуемся первым замечательным пределом .

Имеем: .

Задание 13. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение:

Поскольку элементарные функции непрерывны, то данная функция непрерывна всюду за исключением, быть может, двух точек: и .

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках.

Для этого найдем пределы функции в точках и слева и справа:

, значит .

Найдем .

, т. е. , следовательно, функция непрерывна в точке .

, следовательно, в точке функция терпит разрыв.

Таким образом, исходная функция непрерывна всюду кроме точки , которая является точкой разрыва первого рода.

Задание 14. Исследовать на непрерывность функцию в точках и .

Решение:

Легко видеть, что при , таким образом, в точке данная функция непрерывна, а в точке функция неопределенна.

Найдем левый и правый пределы функции в этой точке:

значит, точка является точкой разрыва функции, а поскольку один из пределов бесконечен, то эта точка разрыва второго рода.

Задание 15.^¹ Найти производную функции .

Решение:

Задание 16. Найти производную функции .

Решение:

Задание 17. Найти производную функции .

Решение:

Задание 18. Найти производную функции .

Решение:

Задание 19. Для функции и вычислить .

Решение:

Задание 20. Найти производную n-го порядка функции .

Решение:

;

; и т. д.

Исходя из полученного, можно выявить следующую закономерность: .

Задание 21.^² Вычислить предел .

Решение:

Задание 22. Вычислить предел .

Решение:

Задание 23. Вычислить предел .

Решение:

, т. е. сразу правило Лопиталя применить нельзя.

Путём тождественных преобразований выражения, стоящего под знаком предела, сначала сведём неопределённость вида к неопределённости вида :

Задание 24. Вычислить предел .

Решение:

Задание 25. Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение:

.
Так как область определения не симметрична относительно нуля, то функция является функцией общего вида.
Нули функции: .
Пересечений с осью ординат нет, так как .
Найдём асимптоты:
1. Вертикальная асимптота: . Исследуем поведение функции вблизи асимптоты справа. Для этого найдем предел:

Наклонные асимптоты:

, т. е. наклонных асимптот нет.

Горизонтальных асимптот нет.

Найдем экстремумы функции:

Рис. 1.

Из рис. 1 следует, что — точка максимума, а — точка минимума.

, .

Найдем точки перегиба:

. См. рис. 2.

Рис. 2.

— ордината точки перегиба.

Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.





				Точка перегиба

График данной функции представлен на рис. 5.

Рис. 5.

Задание 26. Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение:

. В точке знаменатель данной функции обращается в ноль, следовательно функция в ней не определена — терпит разрыв.
и , следовательно функция общего вида.
, следовательно функция непериодическая.
Нули функции: при .
Найдем асимптоты данной функции:

Вертикальная асимптота: и , отсюда следует, что существует вертикальная асимптота .
Наклонная асимптота находится по формуле: . Так как ; , то уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид: .
Горизонтальных асимптот нет, так как .

Найдем экстремумы функции:

, значит , и — стационарные точки I рода.

— точка локального максимума, и , а точке экстремума нет, так как в ней функция терпит разрыв. Смотрите рис. 6.

Рис. 6.

Найдём точки перегиба:

, значит и — стационарные II рода.

В точке функция имеет перегиб. Ордината точки перегиба — . Смотрите рис. 7.

Рис. 7.

Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.





				Точка разрыва		Точка перегиба

График данной функции представлен на рис. 8.

Рис. 8.

Задание 27. Найти наименьшее и наибольше значения функции на отрезке .

Решение:

. Имеем , так как .

для поиска экстремумов необходимо найти:

Задание 28. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 29. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Воспользуемся методом замены:

Задание 30. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Заметим, что приведенное решение наглядно демонстрирует метод замены, но слишком «громоздко». Запись решения можно упростить, если воспользоваться очевидным выражением . С помощью этого равенства можно «заносить» необходимый множитель под знак дифференциала (См. Приложение).

Продемонстрируем эту идею на примере:

Задание 31. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 32. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 33. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 34. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Заметим, что , следовательно,

Задание 35. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 36. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 37. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 38. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 39. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 40. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 41. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 42. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Задание 43. Найти неопределенный интеграл .

Решение:

Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла — выделим у неё целую часть, поделив числитель на знаменатель «уголком»:

_


_

Далее разложим знаменатель полученной дроби на множители. Для этого будем искать возможные корни знаменателя методом подбора среди делителей свободного члена. Очевидно, что таким корнем будет , т. к. при знаменатель данной дроби обращается в ноль. Поделим знаменатель на :

_


_

_

Таким образом, и тогда

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений, которая в некоторых случаях может оказаться достаточно громоздкой, применяют, так называемый, «метод произвольных значений», суть которого состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений . Для упрощения вычислений в качестве произвольных значений принято принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т. е. в нашем случае — , и .