Примеры

Пример 1. Используя понятие доминирования, упростить матрицу игры, если .

Решение

Рассмотрим первоначальную матрицу А, занумеровав стратегии игроков

Первоначально упростим матрицу игры, исключив чистые стратегии, доминируемые чистыми стратегиями.

Для игрока P1 стратегия доминирует стратегию так как, например, , и, следовательно, . Аналогично для остальных элементов этих строк выполнены неравенства: , . Вычеркивая доминируемую стратегию, переходим к матрице

В матрице для стратегий и второго игрока выполнены неравенства: , . Следовательно, доминирует .

Вычеркивая первый столбец матрицы , получим

.

В матрице нет доминирования чистых стратегий игроков чистыми стратегиями. Найдем (если это возможно) те стратегии, которые доминируются смешанными стратегиями игроков.

Рассмотрим игрока Р1.

Проверим, существует ли смешанная стратегия игрока, доминирующая стратегию . Согласно лемме 4, в качестве такой стратегии достаточно рассмотреть и найти такое , для которого выполнена система неравенств: то есть

Из первого неравенства системы следует, что а так как , то остается полагать, что . Однако данное не удовлетворяет второму неравенству системы, а следовательно, система не имеет решения и чистая стратегия не доминируется никакой смешанной.

Рассматривая аналогично чистые стратегии и приходим к выводу, что и они также не домируются смешанными стратегиями.

Проверим наличие доминируемых стратегий у второго игрока.

Проверим, существует ли смешанная стратегия игрока , доминирующая стратегию . Найдем такое , для которого выполнена система неравенств: то есть

Решением системы является . Следовательно, доминирует . Вычеркивая вторую стратегию второго игрока, переходим к матрице

.

В матрице для первого игрока выполнены равенства: а, следовательно, смешанная стратегия доминирует . Вычеркивая получаем матрицу

.

Решением игры являются стратегии , расширяя которые на 1 и 2 местах, получим оптимальные стратегии исходной игры: .

Упражнения к § 2.6.

№ 1. Найти оптимальные стратегии игроков, предварительно упростив матрицу игры, используя понятие доминирования, если матрица игры имеет вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

№ 2. Найти оптимальные стратегии игроков: 1) непосредственно используя свойство 2 оптимальных стратегий; 2) предварительно упростив матрицу, используя понятие доминирования. Совпадут ли множества оптимальных стратегий, полученные данными способами? Если нет, то объяснить почему.

.

№ 3 (планирование выпуска побочной продукции). В городе имеются 2 предприятия, которые, помимо своих основных изделий, могут выпускать для населения побочную продукцию одного и того же назначения, но разных типов. Первое предприятие может выпускать продукцию типов , а второе – типов . В городе найдет сбыт 1000 единиц товара всех видов. Прогнозируемая доля сбыта продукции первым предприятием задана таблицей.

Предприятие 1	Предприятие 2
	0,5	0,5	0,4	0,5	0,2
	0,5	0,4	0,7	0,1	0,6
	0,2	0,3	0,4	0,1	0,7
	0,3	0,6	0,7	0,3	0,2
	0,4	0,4	0,3	0	0,2

Требуется определить количество игрушек каждого типа, выпускаемого каждым предприятием.