2.7. Бесконечные антагонистические игры

Рассмотрим антагонистическую игру двух лиц . Предположим, что один или оба игроков имеют бесконечное множество стратегий, то есть X, Y – произвольные и в общем случае бесконечные множества; – функция выигрыша игрока 1 и, соответственно, проигрыша второго игрока.

Аналогично матричной игре для бесконечной антагонистической игры вводится понятие ситуации равновесия, которая и является решением. Итак, ситуация называется ситуацией равновесия в игре , если:

, , .

Принцип оптимальности реализуется в игре в том и только том случае, если: , где , . Такая игра называется вполне определенной.

При этом возможны следующие ситуации:

а) не существуют верхняя или (и) нижняя цена игры (в силу того, что внешние экстремумы не достигаются);

b) и существуют, но .

Рассмотрим ситуацию a).

Примеры

Пример 1. Пусть каждый игрок выбирает число из интервала . Выигрыш первого игрока (проигрыш второго) равен сумме выбранных чисел.

Таким образом, = , , .

В данном примере внешние экстремумы не достигаются. Причем, если , то решением игры была бы пара .

В этом случае вводится понятие -равновесия.

Определение 11. Ситуация называется ситуацией -равновесия в антагонистической игре , если для любых стратегий , игроков Р1 и Р2 соответственно выполняются неравенства:

. (8)

Точка , которая удовлетворяет (8), называется также -седловой точкой, а стратегии и – -оптимальными стратегиями игроков.

Так в примере 1 ситуация , является ситуацией -равновесия, а цена игры .

Замечание 4. Отклонение от оптимальной стратегии не приводит к увеличению выигрыша каждого игрока, отклонение от -оптимальных стратегий может привести к увеличению выигрыша, но не более, чем на величину .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Для того, чтобы =v<+ , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовали -оптимальные стратегии , игроков Р1 и Р2, при этом =v.

Рассмотрим ситуацию b), когда и существуют, но . В этом случае аналогично матричной игре вводится понятие смешанного расширения игры.

Пусть – -алгебра подмножеств множества X, – -алгебра подмножеств множества Y, , – множества всех вероятностных мер на -алгебрах и соответственно, а функция выигрыша H измерима относительно -алгебры .

Тогда математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго) по мерам , вычисляется по формуле:

, , . (9)

В этом случае ситуация называется ситуацией равновесия в смешанных стратегиях, если .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Бесконечная антагонистическая игра , где – метрические компакты, а функция – непрерывна на их произведении, имеет решение в смешанных стратегиях.