Упражнения к § 3.

№ 1. Найти ситуации равновесия в доминирующих стратегиях по Нэшу, Парето и Штакельбергу в играх, задаваемых следующими матрицами

1. Игра общественного благосостояния.

Правительство/Население	Работать	Бездельничать
Помогать	3,2	-1, 3
Не помогать	-1, 1	0, 0

2. Тише едешь – дальше будешь.

	Продолжать движение	Остановиться
Продолжать движение	-3,-3	2,0
Остановиться	0,2	1,1

.

3. Координация движений.

Игрок1/Игрок 2	Налево	Прямо	Направо
Верх	0,4	4,0	5,3
Середина	4,0	0,4	5,3
Низ	3,5	3,5	6,6

.

№ 2. Имеются три числа: 1, 2 и 3. Два следует за 1, 3 следует за 2, а 1 следует за 3. Игроки одновременно называют число 1, 2 или 3. При выборе одного и того же числа выигрыш обоих игроков равен 0. Если их выборы различны, то тот игрок, например, i, чье число следует за числом j, выигрывает 2 единицы, а второй выигрывает 1.

1. Составить матрицу игры. Найти ситуации равновесия.

2. Показать, что единственное вполне смешанное равновесия по Нэшу состоит в равновероятном выборе чисел каждым игроком.

№ 3. Найти множества всех ситуаций равновесия по Нэшу (в чистых стратегиях) в следующих -матричных играх с матрицами и .

1. Матрицы A и B – диагональные и положительные, то есть , и , , .

2. , .

3. , .

№ 4. Показать, что в биматричной игре с матрицами

, ситуация является равновесной. Является ли она сильно равновесной?

№ 5. В биматричной игре с матрицами

, найти все ситуации, оптимальные по Парето в чистых стратегиях. Есть ли в этой игре равновесные ситуации в чистых стратегиях?

№ 6. В биматричной игре с матрицами

, найти вполне смешанную ситуацию равновесия по Нэшу.

№ 7. Покупатель (игрок Р2) приходит на рынок за яблоками. Продавец, торгующий яблоками (игрок Р1), использует пружинные весы. У него есть две стратегии:

1. честно взвесить 1 кг. яблок;

2. подкрутить пружинку и обвесить покупателя на 200 грамм.

Покупатель тоже имеет две стратегии:

1. поверив продавцу, заплатить деньги и уйти;

2. взвесить купленные яблоки на контрольных весах и в случае обнаружения обмана потребовать возмещение ущерба.

Определим выигрыши продавца и покупателя в каждой ситуации:

а) Продавец честно взвесил , а покупатель ему поверил. Соответствующие выигрыши обоих, равные 0, выберем в качестве начала отсчета.

б) Продавец обманул, а покупатель ему поверил. Выигрыш продавца примем равным 1, так как он получил дополнительную прибыль. Выигрыш покупателя равен -1, поскольку он получил меньше яблок.

в) Продавец обманул, а покупатель ему поверил. Выигрыш продавца равен 0. Пусть выигрыш покупателя равен : Гн, во-первых, зря потратил время, а, во-вторых, глупо себя чувствует.

г) Продавец обманул, а покупатель ему поверил. Выигрыш продавца примем равным -1, так как обнаружение обмана грозит ему определенными неприятностями. Выигрыш покупателя равен , так как, во-первых, ему возместили обвес, а, во-вторых, он испытывает моральное удовлетворение от разоблачения обманщика.

Составить матрицы игры. Найти ситуации равновесия.

№ 8. Модель технического контроля за качеством продукции. Завод выпускает автомобили партиями по 100 штук. За каждую автомашину завод получает от концерна 1,3 ед. оплаты, из которых 1 ед. составляют премиальные, а 0,3 ед. предназначены для операций технического контроля (ОТК). Завод (игрок 1) может выпускать партию автомобилей либо с ОТК, либо без ОТК, увеличивая сумму премиальных.

С целью уменьшения производственного брака концерн решил привлечь независимую фирму, осуществляющую технический контроль за качеством продукции. Стоимость проверки автомобиля для фирмы составляет 0,12 ед. Если ОТК заводом не проводится, то автомобиль неисправен с вероятностью . В случае обнаружения неисправностей завод обязан их устранить, затратив 0,3 ед., и заплатить дополнительно фирме 0,2 ед. из своих премиальных. Фирма (игрок 2) может либо проверить партию, либо отказаться от ее проверки.

Выигрышем первого игрока является ожидаемая сумма премиальных, полученная от концерна за партию автомобилей с учетом издержек на ОТК и возможных выплат фирме. Выигрышем второго игрока является ожидаемая сумма выплат, полученных от завода при проверке партии автомобилей с учетом затрат на эту проверку.

Выписать матрицы игры. Найти ситуации равновесия.

Основная литература

1. Петросян Л.А. Теория игр/ Л.А. Петросян, Н.А. Зенкевич,

Е.А. Семина. – М.: Высш. шк., 1998. – 304 с.

2. Васин А.А. Теория игр и модели математической экономики/ А.А. Васин, В.В. Морозов. – М.: МАКС Пресс, 2005. – 272 с.

3. Новиков Д.А. Рефлексивные игры/ Д.А. Новиков, А.Г. Чхаришвили. – М.: СИНТЕГ,2003. – 160 с.

4. Харшаньи Дж. Общая теория выбора равновесия в играх/ Дж. Харшаньи, Р. Зельтен. – СПб.: Экономическая школа,2001. – 424 с.

Дополнительная литература

1. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами/ Ю.Б. Гермейер. – М.: Наука, 1976. – 328 с.

2. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики/ Э. Мулен. – М.: Мир,1985. – 200 с.

3. Дюбин Г.Н. Введение в прикладную теорию игр/ Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. – М.: Наука,1981. – 328 с.

4. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании, экономике/ С. Карлин. – М.: Мир, 1964. - 838 с.

5. Воробьев Н.Н. теория игр для экономистов-кибернетиков/ Н.Н. Воробьев.– М.: Наука, 1985. – 427 с.

Учебное издание

Аснина Альбина Яковлевна,

Бондаренко Юлия Валентиновна,

Щепина Ирина Наумовна

ТЕОРИЯ ИГР: БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Учебное пособие для вузов

Редактор Е.С.Котлярова