Упражнения к § 2.7.

№ 1 (игра типа бесшумной дуэли). Каждому из дуэлянтов разрешается стрелять только 1 раз. Каждый имеет «шумный пистолет», то есть. каждый знает, когда выстрелил его противник. Вероятность попадания Р1 в момент времени x (функция меткости) – определена, непрерывна, монотонно возрастает на отрезке [0, 1], , . Аналогично, точность выстрела второго игрока (функция ) непрерывна, монотонно возрастает на [0, 1], . Если игрок 1 поражает игрока 2, то Р1 получает выигрыш +1, если его поражает игрок 2, то выигрыш –1; если оба игрока стреляют одновременно и с одинаковым результатом (успешно или нет), то выигрыш Р1 равен 0. Построить функцию выигрыша первого игрока, если выигрыш в каждой ситуации равен разности вероятности попадания и вероятности того, что противник попадет в него.

№ 2. Построить функцию выигрыша первого игрока в шумной дуэли, если остальные правила игры определены в задаче №1.

№ 3. В игре множества стратегий каждого из игроков совпадают: функция выигрыша вычисляется по следующей формуле:

Показать, что:

1) не существует нижняя и верхняя цена игры;

2) цена игры v=1;

3) -оптимальные ситуации равновесия , .

2.8. Игры в условиях неопределенности и риска (игры с природой)

В данном параграфе рассмотрим игру, в которой два участника, одним из них (Р2) считается «природа», внешняя среда, ее поведение непредсказуемо. В таких играх сознательно действует только один из игроков (Р1). Природа сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

Игра с природой задается одним из следующих способов.

1. Задание матрицей игры.

Данный способ задания аналогичен матричной игре.

Пусть первый игрок имеет m возможных стратегий: . У природы имеется n возможных состояний: . Условия игры с природой задаются матрицей A выигрыша первого игрока:

, где – выигрыш первого игрока, который он получит, если выберет стратегию , а состоянием природы будет .

2. Задание в виде матрицы рисков , или матрицы упущенных возможностей. Величина риска – это размер платы за отсутствие информации о состоянии природы. Матрица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей A.

Риском игрока при использовании им стратегии и состоянии природы называется разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы знал, что состоянием среды будет , и выигрышем, который он получит, не имея такой информации: , где .

Понятие доминирования в играх с природой имеет определенную специфику. Исключать из рассмотрения можно доминируемые стратегии только первого игрока.

Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности: известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, то есть имеет ли место ситуация риска (нет информации о вероятностях) или неопределенности (вероятности известны).