Упражнения к § 2.1. – 2.2.

№ 1. Найдите верхнюю, нижнюю цену игры, ситуации равновесия (если они существуют) для игр, заданных следующими матрицами:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

№ 2. В игре Морра с тремя пальцами каждый игрок показывает 1, 2 или 3 пальца одновременно, называя число пальцев, которые покажет его оппонент. Выигрывает тот, кто правильно назовет число пальцев, показанных противником. Выигрыш равен сумме пальцев, показанных обоими игроками. Написать матрицу игры и показать, что она не имеет ситуации равновесия.

№ 3. Каждый из двух игроков имеет n рублей. Они хотят получить некоторый предмет стоимостью C>0. Каждый дает за него i рублей ( ) так, чтобы другой не знал, сколько дал первый. Тот, кто предложил больше денег, получает предмет и выплачивает другому игроку ту сумму, которую он сам предлагал. Если оба игрока давали одинаковую цену, то предмет без всякой компенсации отдается одному из партнеров – это решается бросанием монеты. Тогда каждый имеет ожидаемую долю в этом предмете. Напишите матрицу выигрыша и определите, имеет ли она седловую точку.

№ 4. (Дискретная игра типа дуэли). Игроки продвигаются навстречу друг другу на n шагов одновременно. После каждого сделанного шага игрок может выстрелить или нет, но во время игры он может выстрелить только один раз. Считается, что вероятность того, что игрок попадет в своего противника, если выстрелит, продвинувшись на k шагов, равна ( ). Стратегия каждого игрока – принять решение стрелять на i-ом (j-ом) шаге. Выигрыш P1 равен разности вероятностей того, что он попадет в противника, и того, что попадут в него. Написать матрицу игры. Имеются ли ситуации равновесия?

№ 5. В системе ПВО объекта могут применяться 3 типа средств поражения воздушной цели (1, 2, 3), которые должны быть распределены между двумя стартовыми установками. У противника (P2) имеется 2 типа самолетов (тип 1, тип 2). Вероятности поражения самолета одним средством сведены в таблицу

	тип 1	тип 2
1	0,3	0,5
2	0,5	0,3
3	0,1	0,6

Предполагается, что возможно нападение только одним из самолетов. Выигрыш первого игрока равен вероятности поражения самолета системой ПВО. Построить матрицу игры и выяснить, имеет ли игра решение в чистых стратегиях.

№ 6. На каждой из двух торговых баз ассортиментный минимум составляет один и тот же набор из n видов товаров. Каждая база должна поставить в свой магазин только один из этих видов товара. Магазины, обозначим их A и B, конкурируют между собой. Один и тот же вид товара в обоих магазинах продается по одной и той же цене. Однако, товар, поставляемый в магазин B, более высокого качества. Если магазин A завезет с базы товар i-го вида , отличный от товара j-го вида , завезенного в магазин B, то товар i-го вида будет пользоваться спросом и магазин A получит прибыль денежных единиц. Если же в магазины A и B завезены товары одинакового вида i=j, то товар i-го вида в магазине A спросом пользоваться не будет, поскольку такой же товар, по такой же цене, но более высокого качества можно купить в магазине B, и поэтому магазин A понесет убытки по транспортировке, хранению и, возможно, порче товара i-го вида в размере денежных единиц.

Требуется формализовать данную конфликтную ситуацию и построить матрицу игры при n=3.

№ 7. Торговый агент должен встретиться с иногородним клиентом и собирается лично вручить ему заказ на 3000 у.д.ед.

Если агент поедет поездом, то потеряет день на работе, который принес бы ему 1500 у.д.ед.

Полет самолетом позволит позволит сократить рабочий день, но если самолет не полетит из-за тумана, то личная встреча с клиентом не состоится и день на работе не будет потерян. В этом случае придется говорить с клиентом по телефону, что уменьшит сумму заказа до 500 у.д.ед. Вероятность тумана оценивается как 0,1. Требуется формализовать данную конфликтную ситуацию и построить матрицу игры.

№ 8. Фирма А производит некоторый сезонный товар, имеющий спрос в течение n единиц времени, и который она может поставить на рынок в один из моментов i .

Для конкурентной борьбы с фирмой А дочерняя фирма В концерна D, не заботясь о собственных доходах, производит аналогичный товар, который поступает на рынок в один из моментов j . Цель фирмы В – разорение фирмы А, после чего, используя капитал концерна D, ей будет легко наверстать упущенное. Единственным законным средством фирмы В в конкурентной борьбе является выбор момента поставки товара на рынок, так как понижение цены на поставляемый товар запрещено определенным соглашением. Для разорения фирмы А фирма В должна минимизировать ее доходы. Пусть технология выпуска товара такова, что чем дольше он находится в производстве, и, следовательно, позже поступает на рынок, тем качество его выше, а реализуется товар только более высокого качества (так как цена на товары разного качества одна и та же). Доход от продажи товара в единицу времени составляет с денежных единиц.

Требуется построить функцию выигрыша фирмы А, где под выигрышем понимается доход этой фирмы, зависящий от складывающихся ситуаций. Используя функцию выигрыша, составить матрицу игры для случая n=4 и выписать конкретный вид этой матрицы, который она приобретает в случае, когда доход с=6 денежным единицам.