3. Смешанное расширение игры

Если игра не имеет ситуации равновесия в чистых стратегиях, то игроки, применяя свои максиминную и минимаксную чистые стратегии, создают неустойчивую ситуацию, которую один из игроков может изменить с выгодой для себя. С другой стороны, представляется, что ничего другого осторожным игрокам рекомендовать нельзя. И все-таки из этого положения есть выход. Каждый из игроков может выбирать свои чистые стратегии случайно, то есть может определить распределение вероятностей на множестве чистых стратегий, а затем предоставить выбор конкретной чистой стратегии случайному механизму.

Выбор игроками своих чистых стратегий с некоторыми заранее заданными вероятностями – по существу один из планов проведения игры и в этом смысле тоже является некоторой стратегией. В отличие от первоначально заданных (чистых), такие стратегии называются смешанными.

Рассмотрим матричную игру c матрицей . Обозначим через

– множество чистых стратегий первого игрока; – множество чистых стратегий второго игрока.

Пусть – вероятность выбора i-ой чистой стратегий первым игроком, где , . Векторы и называются векторами смешанных стратегий первого и второго игроков соответственно, а множества и – смешанными расширениями чистых стратегий.

При выборе смешанной стратегии игроки руководствуются критерием максимизации математического ожидания своего выигрыша. Отсутствие обмена информацией между игроками делает их случайные выборы своих чистых стратегий независимыми. Поэтому, если они применяют свои смешанные стратегии , , то каждая ситуация в чистых стратегиях реализуется с вероятностью . Следовательно, математическое ожидание выигрыша игрока 1 вычисляется по формуле:

. (1)

Определение 4. Тройка , где , – смешанные расширения чистых стратегий, а функция выигрыша первого игрока (проигрыша второго) вычисляется по формуле (1), называется смешанным расширением матричной игры.

Определение 5. Решением смешанного расширения матричной игры называется такая пара смешанных стратегий , что

, , .

Для смешанного расширения игры справедлива лемма о масштабе.

Лемма 3. Пусть , – матричные игры, причем , где , ( , ). Тогда множества оптимальных стратегий и совпадают, а .

Сформулируем несколько теорем, представляющих свойства оптимальных смешанных стратегий в антагонистической игре, используя которые в дальнейшем (п. 2.5), сможем доказать теорему о существовании ситуации равновесия в смешанных стратегиях.

Свойства оптимальных стратегий и цены смешанного расширения игры

1. Пусть – математическое ожидание выигрыша первого игрока в игре с ценой v. Необходимым и достаточным условием оптимальности векторов , для P1 и Р2 соответственно является выполнение следующих неравенств:

.

2. Пусть – математическое ожидание выигрыша первого игрока в игре , v – действительное число, , . Необходимым и достаточным условием того, что v – цена игры, а и – оптимальные стратегии Р1 и Р2 соответственно, является выполнение следующих неравенств:

, .

При этом – математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго) при условии, что Р1 выбрал свою i-ую чистую стратегию, а Р2 смешанную ;

– математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго) при условии, что Р1 выбрал свою смешанную стратегию , а Р2 чистую стратегию j.

3. Для матричной игры с ценой справедливы соотношения:

.

4. Для того чтобы ситуация являлась ситуацией равновесия в игре , необходимо и достаточно выполнение равенств:

.

5. Пусть – математическое ожидание выигрыша первого игрока в игре , v – цена игры, , – оптимальные стратегии Р1 и Р2 соответственно. Тогда для любого i, при котором , имеем , а для любого j, при котором , имеем .

Приведем доказательство свойства 2 оптимальных стратегий.

Доказательство свойства 2

1. Необходимость. Пусть – ситуация равновесия в игре . Тогда

для всех . Поэтому, в частности, для чистых стратегий i и j имеем:

.

2. Достаточность. Пусть – пара смешанных стратегий, для которых выполняются неравенства

, . (*)

Пусть , – произвольные смешанные стратегии игроков 1 и 2 соответственно. Тогда из левой части (*) следует выполнение неравенства

,

а из правой части (*)

. (**)

При этом имеем:

;

.

Подставляя данные равенства в (**) и учитывая произвольность стратегий x и y, получаем равновесность ситуации . Свойство доказано.