Принятие решений в условиях полной неопределенности

В условиях отсутствия дополнительной информации о вероятностях появления конкретных состояний природы используются следующие критерии: критерий максимакса (критерий крайнего оптимизма), максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма), Сэвиджа, Гурвица (пессимизма-оптимизма).

1. Критерий максимакса.

С помощью данного критерия определяется стратегия , применяя которую, игрок при благоприятном стечении обстоятельств может получить максимально возможный выигрыш:

M= .

2. Максиминный критерий Вальда.

С позиции данного критерия природа рассматривается как агрессивно настроенный и сознательно действующий противник (как игрок P2 в антагонистических играх). В этом случае игра становится антагонистической и наилучшей признается стратегия, на которой достигается нижняя цена игры:

W= .

2. Критерий минимаксного риска Сэвиджа.

Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей A, а матрицей рисков R:

S= .

2. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом. Согласно этому критерию, стратегия в матрице A выбирается в соответствии со значением

,

где p ( ) – коэффициент пессимизма.

Отметим, что при p=0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при p=1 – с критерием Вальда.

Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:

.

Принятие решений в условиях риска

Будем считать, что для природы известны вероятности появления состояния , задаваемые, например, экспертно. В этом случае лучшей стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, то есть

.

Применительно к матрице рисков (матрице упущенных выгод) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск:

.

Примеры

Пример 1. (Заготовка угля для обогрева дома)

Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Вторым игроком выступает природа – погодные условия зимой. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что неизвестно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной.

Имеются следующие данные о количествах и ценах угля, необходимого зимой для отопления (таблица 1).

Таблица 1

Зима	Количество угля, т.	Средняя цена за 1 т., д.е.
Мягкая	4	7
Средняя	5	7,5
Холодная	6	8

Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 д.е. за 1 т., есть место для хранения запаса угля до 6 т., заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадает. Сколько угля летом покупать на зиму?

Рассмотрим 2 случая: 1) вероятности наступления каждой из типов зим неизвестны (случай полной неопределенности); 2) известны наступления вероятности каждой зимы: для мягкой зимы – 0,35; для средней зимы – 0,5; холодной – 0,15.

Решение

1. Построим матрицу выигрыша.

Зима Количество угля	Мягкая	Средняя	Холодная
4 т	-24	-31,5	-40
5 т	-30	-30	-38
6 т	-36	-36	-36

Для поиска стратегии игрока Р1, минимизирующего затраты в условиях полной неопределенности, воспользуемся каждым из перечисляемых выше критериев.

1. Критерий максимакса.

Согласно данному критерию находим максимальный элемент матрицы выигрышей:

. Следовательно, первому игроку рекомендуется выбрать свою первую стратегию (4 т.).

2. Максиминный критерий Вальда.

.

Следовательно, рекомендуется выбирать стратегию (6 т.).

3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа.

Построим матрицу риска R, используя матрицу A.

Вычислим величины :

= .

Тогда S=

Согласно данному критерию следует воспользоваться стратегией (4 т.).

4. Критерий Гурвица.

Рассмотрим случай, когда коэффициент пессимизма равен 0,5.

Тогда =

=

= . Следовательно, первому игроку рекомендуется выбрать свою первую стратегию (4 т.).

Отметим, что выбор конкретного критерия принятия решений зависит от субъективных особенностей Р1 (его склонности к риску). Однако, так как по 3 критериям из 4 лучшей оказалась первая стратегия, то эту стратегию и можно рекомендовать игроку.

2. Рассмотрим процедуру принятия решений в условиях риска.

Для каждой чистой стратегии первого игрока рассмотрим математическое ожидание выигрыша при применении им данной стратегии, для чего составим таблицу

Вероятность	0,35	0,5	0,15	Математическое ожидание
Зима Количество	Мягкая	Средняя	Холодная
4 т.	-24	-31,5	-40	=0,35(-24)+ 0,5(-31,5) + 0,15(-40) = =-30,15
5 т.	-30	-30	-38	=0,35(-30) + 0,5(-30) + 0,15(-38)= =-31,2
6 т.	-36	-36	-36	=-36

Как видно из таблицы, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай закупки угля в размере 4 т., и по данному критерию первая стратегий Р1 является лучшей.