Упражнения к § 2.8.

№1. Для следующих игр с природой в условиях полной неопределенности, заданных матрицей игры A, построить матрицу риска и найти лучшие стратегии по каждому из критериев: критерий максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (приняв p=0,5 и p=0,2), если:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

№ 2. Компания производит некоторую скоропортящуюся продукцию. Затраты на производство одного ящика продукции равны 45 д.е. Компания продает каждый ящик по цене 95 д.е. Если ящик с продукцией не продается в течение месяца, то она портится, и компания не получает дохода. Вероятности того, что спрос на продукцию в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?

№ 3. Магазин «Молоко» продает в розницу молочные продукты. Директор магазина должен определить, сколько бидонов сметаны следует закупить у производителя для торговли в течение недели. Вероятности того, что спрос на сметану в течение недели будет 7, 8, 9 или 10 бидонов, равны соответственно 0,2; 0,2; 0,5 и 0,1. Покупка одного бидона сметаны обходится магазину в 70 д.е., а продается сметана по цене 110 д.е. за бидон. Если сметана не продается в течение недели, она портится, и магазин несет убытки. Сколько бидонов сметаны желательно приобрести для продажи?

§ 3. Неантагонистические бескоалиционные игры n лиц в нормальной форме

3.1. Определение неантагонистической бескоалиционной игры в нормальной форме. Биматричные игры

Наравне с антагонистическими конфликтами в реальных задачах принятия решений встречаются конфликты более общего характера, участники которых преследуют различные, но не обязательно прямо противоположные интересы. Это может приводить к ситуациям взаимовыгодным обоим игрокам, что делает осмысленным кооперирование игроков, приводящее к увеличению выигрыша обоих. В неантагонистических играх различают бескоалиционное поведение игроков, когда кооперация не разрешена правилами игры (такие модели изучаются теорией бескоалиционных игр), и кооперативное поведение, когда возможна кооперация типа выбора совместных действий (такие модели изучаются в теории кооперативных игр). Рассмотрим первый случай.

Определение 12. Бескоалиционной игрой называется система , в которой P – множество игроков, – множество стратегий игрока i, – функция выигрыша игрока i, определенная на декартовом произведении множеств чистых стратегий игроков (множество ситуаций игры).

В том случае, когда множество P конечно, , бескоалиционную игру называют игрой N лиц.

Бескоалиционная игра происходит следующим образом. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают по элементу множества своих чистых стратегий каждый, в результате чего складывается ситуация , . После этого каждый игрок i получает выигрыш .

Если множества чистых стратегий игроков конечны, то игра называется конечной бескоалиционной игрой N лиц.

Бескоалиционная игра в которой принимают участие два игрока, называется игрой двух лиц. Таким образом, бескоалиционная игра двух лиц в нормальной форме определяется системой , где , – множества стратегий первого и второго игроков соответственно, а , – функции выигрышей. Конечная бескоалиционная игра называется биматричной. Это объясняется тем, что, занумеровав множества чистых стратегий игроков числами , соответственно, значение функций выигрыша игроков можно записать в виде двух матриц:

и .

Элементы и матриц являются соответственно выигрышами Р1 и Р2 в ситуации .

Заметим, что биматричную игру с матрицами A и B можно также задать матрицей , каждый элемент которой есть пара :

.

Замечание 5. Если бескоалиционная игра двух лиц такова, что для всех , , то является антагонистической игрой. В частности, если в биматричной игре , то такая игра является матричной.

Примеры

Пример 1. (Игра «Семейный спор»)

Муж (игрок Р1) и жена (игрок Р2) могут выбрать одно из двух вечерних развлечений: футбольный матч или театр. Если они имеют разные желания, то остаются дома. Муж предпочитает футбол, а жена театр. Однако, им важнее провести вечер вместе, чем участвовать в развлечениях по одному.

В данной биматричной игре стратегиями игроков являются множества . Матрица выигрышей игроков задается следующим образом: .

Пример 2. (Игра «Дилемма заключенного»)

Два заключенных, обвиняемых в одном и том же преступлении (либо оба виновны, либо оба невиновны), находятся на допросе в разных камерах. Каждый может выбрать одну из двух стратегий: отрицать или сознаться. Выигрыши каждого заключенного представлены матрицей

.

Пример 3. (Игра «Перекресток»)

Два автомобилиста движутся по двум взаимно перпендикулярным дорогам и одновременно встречаются на перекрестке. Каждый из них может остановиться (1-я стратегия или ) и ехать (2-я стратегия или ). Предполагается, что каждый игрок предпочитает остановиться, а не пострадать в аварии и проехать, если другой сделал остановку. Этот конфликт может быть формализован биматричной игрой с матрицей

, где соответствует степени неудовольствия от того, что игрок остановился и пропустил партнера.

Пример 4. (Распределение ограниченного ресурса с учетом интереса потребителей)

Предположим, что N потребителей имеют возможность расходовать (накапливать) некоторый ресурс, объем которого ограничен величиной A>0. Обозначим объем ресурса, который расходует (накапливает) i-ый потребитель, через . В зависимости от значений вектора потребители получат выигрыш, который оценивается для i-ого потребителя функцией , если общий объем израсходованного (накопленного) ресурса не превосходит заданной положительной величины , то есть

, .

Если выполняется противоположное неравенство, то выигрыш i-ого потребителя вычисляется с помощью функции . При этом предполагается, что полезность ресурса резко снижается, если , то есть .

Таким образом, получили неантагонистическую бескоалиционную игру в нормальной форме , в которой функция выигрыша имеет вид:

, , , .