Проверка однородности дисперсии.
Матрица планирования состоит из серии опытов и дисперсия всего эксперимента получается в результате усреднения дисперсии всех опытов.
Дисперсия параметра оптимизации:
S2{y}=∑N1∑n1(yiq-yi)2
N(n-1)
N – число опытов (число строк в матрице);
q – 1,2,…,n – число повторных опытов
Формула справедлива, если число повторных опытов одинаково по всей матрице.
Следует помнить, что дисперсии должны быть однородны, т е среди ∑ дисперсий не должно быть таких, которые значимо бы превышали остальные.
Проверка однородности дисперсии производится с помощью различных статистических критериев.
Критерий Фишера.
F – критерий
Предназначен для сравнения дисперсий , представляет собой отношение большей дисперсии к меньшей, если полученное значение больше приведенного в таблице, для соответствующих степеней свободы и выбранного уровня значимости, что дисперсии значимо отличаются друг от друга, т е они не однородны.
Пусть:
S12=4,8 ; Ϡ1=6
S22=0,8 ; Ϡ2=5
Fэксперим=4,8/0,8=6
Пусть q=0,05 – уровень значимости, тогда табличное значение F0,05;5;6=4,4
Т к Fэксперим>Fтабл=> дисперсия неоднородна
Критерий Кохрена.
Предназначен для сравнения дисперсий, если их количество >2 и одна дисперсия значительно превышает остальные.
Следует помнить, что число повторных опытов должно быть одинаково.
Критерий Кохрена – это отношение наибольшей дисперсии к сумме всех остальных.
G= Smax2 .
∑i=1N Si
Гипотеза об однородности дисперсии подтверждается, если экспериментальное значение критерия Кохрена не превышает табличного.
Обработка результатов эксперимента.
Большинство всех формул, используемых в технических дисциплинах относятся к так называемым «парным» зависимостям.
y=f(x)
Обработка результатов производится на базе методов наименьших квадратов или линейного регрессионного анализа (ЛРА).
Метод наименьших квадратов широко применяется, как вычислительный прием, но в области статистики, когда речь идет о проверке гипотезы или об адекватности модели и т д., то МНК принято называть регрессионным анализом.
Пусть имеется n пар наблюдений, значение отклика y при фиксированных значениях независимой переменной Xi.
Координаты 8 точек в таблице:
X |
1,5 |
4,0 |
5,0 |
7 |
8,5 |
10 |
11 |
12,5 |
y |
5,0 |
4,5 |
7 |
6,5 |
9,5 |
9 |
11 |
9 |
Задача линейного регрессионного анализа состоит в том, чтобы зная значение точек на плоскости так провести линию регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений этох точек вдоль оси oy от проведенной прямой была минимальной. При этом уравнение регрессии должно быть линейным по параметру или допускать возможность линеолизации (процедура проведения регрессионного анализа) одинаковой для уравнений:
y=b0+b1x
y=b0+b1z2
Т к замена z2*x приведет 2е уравнение к 1му.
Известно, что уравнение прямой на плоскости имеет вид, где b0 и b1 – коэффициенты, таким образом задача регрессионного анализа заключается в следующем:
U = ∑Ni=1=[yi-(b0+b1xi)]min (1)
Следует отметить, что метод наименьших квадратов (МНК) является интерпретационным методом, т к построенная линия регрессии позволяет в данном случае с некоторой вероятностью предсказать в интервале от X=1,5 до X=12,5 любые значения функции yдля отсутствующих в таблице значениях X.
Для решения уравнения (1) необходимо вычислить значение коэффициентов b0 и b1 и приравнять их к 0.
Подставляя значение U и дифференцируя, а далее раскрыв скобки и выполнив ряд преобразований получим:
