Выбор модели.

Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции, записать ее уравнение, провести эксперимент для определения численных значений констант.

Геометрическая интерполяция модели.

Построим геометрический аналог функции отклика, а именно поверхность отклика для случаев с 2мя факторами. В случае с несколькими факторами мы имеем дело с абстрактным многомерным пространством.

Поверхность отклика будет иметь следующий вид.

Проведем сечение поверхности отклика плоскостями || плоскости основания.

Каждая линия соответствует постоянному значению параметра оптимизации.

Учитывая невозможность полного перебора состояний исследуемого объекта и нецелесообразности исполнения метода случайного поиска. Остановимся на построении математической модели, которая позволит предсказывать значение отклика в тех состояниях, которые не изучались экспериментально.

Допущения относительно свойств модели.

1. Непрерывность поверхности;

2. Наличие единственного оптимума.

Эти упущения позволяют представить изучаемую функцию в виде степенного ряда в окрестности любой возможной точки факторного пространства.

Предпосылки выбора модели.

Выбор математической модели определяется требованиями, которые мы к ней предъявляем:

1. Способность предсказывать направление дальнейших опытов;

2. Точность;

3. Простота.

На участке [x_min;x_max] функция отклика с удовлетворительной точностью описывается 2мя уравнениями.

Исходя из требований, предъявляемых к модели, при этом в качестве модели преимущественно использовать алгебраические полиномы, которые являются отрезками степенных рядов.

Примеры полиномов для случаев 2х факторов:

0: y=b0

1: y=b0+b1x1+b2x2

2: y=b0+b1x1+b2x2+ b12x1x2

…

5: y=b0+b1x1+b2x2+ b1222x1x2 x1²x2²

Эксперимент нужен только для нахождения чисел значения коэффициента полинома.

Для решения задачи нахождения оптимума целесообразно использовать полином 1ой и последней степени, увеличить степень полинома до тех пор, пока модель не станет адекватна.

Факторный эксперимент.

На практике во многих экспериментах приходится исследовать эффекты 2х и более факторов. В этом случае наиболее эффективны факторные эксперименты, т е исследуются все возможные комбинации уровней фактора.

«а» - А, «b» - В. При «а» уровней фактора А и «b» уровнях фактора В каждый опыт содержит все ab комбинации обработки.

Эффект фактора определяется как изменение отклика, обусловленное изменением уровня фактора. Его часто называют главным эффектом, он относится к факторам, представляет основной интерес в эксперименте.

Пример факторного эксперимента:

За главный эффект фактора А можно принять разность средних откликов на разных уровнях фактора А.

Видно, что возрастание фактора А от уровня 1 до 2 вызывает увеличение среднего отклика А на 21.

Для фактора В главный эффект составляет:

Следует помнить, что все это справедливо для числа уровней, не более 2х, в противном случае подход к решению задачи несколько другой, т к разности средних откликов могут быть образованы многими способами, очевидно, что разности откликов на некоторых уровнях одного фактора могут оказаться неодинаковы для различных уровней других факторов. В таких случаях говорят, что между факторами существует взаимодействие.

Пример факторный эксперимент с взаимодействием:

На 1ом уровне фактора В эффект фактора А, составляет 50-20=30, на 2ом уровне фактора В эффект фактора А составляет 12-40=-28, таким образом эффект фактора А зависит от выбора уровня фактора В=> фактор А и фактор В взаимодействуют.

Факторный эксперимент без взаимодействия.

Линии, соответствующие B₁ и B₂ практически параллельны, что свидетельствует об отсутствии взаимодействий.

Факторный эксперимент с взаимодействием:

Линии, соответствующие B₁ и B₂ пересекаются, что свидетельствует о взаимодействии факторов А и В.