Свойства пфэ типа 2k.
Целью ПФЭ является получение модели, поэтому будем рассматривать только те свойства матриц, которые определяют качество модели. Модель должна обеспечивать точность предсказываемого параметра оптимизации, и не должна зависеть от направления в факторном пространстве, т к заранее неизвестно куда предстоит двигаться в поисках оптимума.
Симметричность относительно центра эксперимента – алгебраическая сумма элементов, вектор-столбца каждого фактора =0.
j – номер фактора;
i – номер опыта;
N – число факторов.
Условие нормировки – сумма квадратов элементов каждого столбца = числу опытов.
Ортогональность матрицы планирования – сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы = 0.
j≠u
Рототабельность матрицы планирования – заключается в том, что точки матрицы планирования подбираются так, что точность предсказания значения параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
Построение математической модели на основе пфэ.
Для получения математической модели процесса необходимо по результатам эксперимента найти значения ее коэффициентов. Так для математической модели y=b0+b1x1+b2x2, необходимо найти b0,b1,b2.
Очевидно, что b0,b1,b2, полученные по результатам эксперимента не являются истинными значениями коэффициента, а только их статистическими оценками. Достоверность которых тем выше, чем больше число опытов, т е эксперимент проводятся для проверки гипотезы о том, что линейная модель Ѳ=ß0+ ß1x1+ ß 2x2, адекватна, где Ѳ; ß; ß1;ß 2 – истинные значения функции откликов и коэффициентов регрессии.
№ |
X1 |
X2 |
y |
1 |
-1 |
-1 |
y1 |
2 |
+1 |
-1 |
y2 |
3 |
-1 |
+1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
y4 |
Для расчета коэффициента b1, используется столбец X1.
Можно показать, что b0 есть среднее арифметическое параметра оптимизации:
Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов, т е чем больше численное значение коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор на функцию отклика.
Следует отметить, что мы только предполагаем что в выбранном интервале варьирования процесс описывается линейной моделью. Нелинейность математической модели часто обуславливается тем, что эффект одного фактора зависит от уровня на котором находится другой фактор, т е модели необходимо учитывать, эффект взаимодействия факторов.
Для ПФЭ 22 матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия будет иметь следующий вид:
№ |
X1 |
X2 |
X1 X2 |
y |
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
y1 |
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
y2 |
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
y4 |
y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2
b12=(+1)y1+(-1)y2+(-1)y3+(-1)y4
4
В инженерной практике расчет коэффициентов модели часто производят по методу Йетса.
1 |
2 |
2 |
y1 |
y1+ y2 |
(y1+ y2)+( y3+ y4) |
y2 |
y3+ y4 |
(y2- y1)+(y4- y3) |
y3 |
y2- y1 |
(y3+ y4)-( y1+ y2) |
y4 |
y4- y3 |
(y4- y3)-( y2- y1) |
В первом столбце таблицы выписан вектор-столбец значений параметра оптимизации.
1ая операция (2ой столбец) состоит в попарном сложении и вычитании этих значений (причем верхнее число вычитается из нижнего).
2ая операция (3ий столбец) состоит в том же действии, но уже с элементами второго столбца. Разделив числа, получившиеся в 3ем столбце на число опытов, получим значения коэффициентов.
Пример:
Пусть матрица планирования имеет следующий вид:
№ |
X1 |
X2 |
X1 X2 |
y |
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
95 |
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
90 |
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
85 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
82 |
b0=95+90+85+82=88
4
b1=-95+90-85+82=-2
4
b2=-95-90+85+82=-4,5
4
b12=95-90-85+82=0,5
4
Число возможных взаимодействий конкретного порядка можно определить по формуле сочетаний:
Ckm= k!
m!(K-m)!
K – число факторов
m – число факторов во взаимодействии
Так для плана 24 число парных взаимодействий будет =
C164=
16! =16*15*14*13*12!=43680=1820
4!(16-4)!
4*3*2*12!
24