- •Тексты лекций по математике I семестр
- •1.3. Перемножение матриц.
- •1.4. Определители второго и третьего порядков
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6.Разложение определителя по строке.
- •2.1. Обратная матрица.
- •2.2. Решение матричных уравнений
- •2.3. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы
- •2.4. Теорема о ранге.
- •3.1. Основные понятия о системах линейных уравнений
- •3.2. Правило Крамера.
- •1. Если система (3.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •3.3. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •3. 4. Метод Гаусса решения линейных систем.
- •3.5.Общее решение однородной линейной системы.
- •5.1. Основные понятия о векторах.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Базис и координаты вектора.
- •5.4. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов.
- •Прямая на плоскости.
- •Неполные уравнения прямой.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Плоскость в пространстве
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Свойства характеристического многочлена:
- •Свойства собственных чисел и собственных векторов:
- •Свойства эллипса:
- •Гипербола.
- •Свойства гиперболы:
- •Парабола.
- •Свойства параболы:
- •Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
- •Математический анализ
- •Операции с множествами
- •Множество действительных чисел.
- •Функция.
- •Пределы функций.
- •Свойства пределов.
- •Предел числовой последовательности.
- •Свойства бесконечно малых.
- •Бесконечно большие функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •Непрерывность обратной функции.
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Натуральный логарифм и гиперболические функции.
- •Определение комплексного числа.
- •2. Вычисление рациональных корней уравнения.
- •3. Простейшие рациональные дроби.
- •4. Методы вычисления коэффициентов числителя.
- •Определение производной. Ее практическое содержание
- •Дифференцируемость и непрерывность.
- •Правила дифференцирования
- •Дифференцирование основных элементарных функций
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Дифференциал функции и его приложение
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Производные и дифференциалы функции, заданной параметрически
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Предел функции.
- •§3. Частные производные.
- •§4. Полный дифференциал функции.
- •§5. Производная по направлению. Градиент.
- •§6. Экстремум функции нескольких переменных.
- •§7. Наибольшее и наименьшее значения функции.
5.3. Базис и координаты вектора.
Определение 5.7. Линейной комбинацией векторов а1, а2,…,аn называется выражение вида: k1a1 + k2a2 +…+ knan (5.1)
где ki – числа.
Определение 5.8. Векторы а1, а2,…,аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k1, k2,…, kn, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е.
k1a1 + k2a2 +…+ knan = 0. (5.2)
Если же равенство (5.2) возможно только при всех ki = 0, векторы называются линейно независимыми.
Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.
Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Определение 5.9. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Замечание 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
Замечание 5. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы.
Определение 5.10. Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе:
если a, b, c – базис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.
Свойства базиса:
Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.
Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.
При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются.
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Определение 5.11. Проекцией вектора АВ на ось u называется длина направленного отрезка А/В/ оси u, где А/ и В/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось u.
Обозначение: прuа.
Свойства проекции:
Прua = |a| cosφ, где φ – угол между а и осью u.
При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.
При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число.
Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации:
d = Xi + Yj +Zk (5.3)
Определение 5.12. Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.
Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.
Определение 5.13. Косинусы углов, образованных вектором о осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами.
Свойства направляющих косинусов:
X = |d| cosα, Y = |d| cosβ, Z = |d| cosγ.
, , .
cos2α + cos2β + cos2γ = 1.