2. Вычисление рациональных корней уравнения.

Рассмотрим многочлен вида

f(x) =

Теорема. Несократимая дробь является корнем многочлена тогда и только тогда, когда число P является делителем свободного слагаемого q – делителем .

Пример. . Найти все корни многочлена f (x) и разложить

на множители.

P: 1; 2

q: 1; 2

- один из корней многочлена, значит, многочлен f (x) делится на разность

Х-(- 1)=х+1 без остатка.

2 х³ – 3х² – 3х + 2 х + 1

2 х³ + 2х² 2х² – 5х +2

- 5х² – 3х

- 5х² – 5х

2х + 2

2х + 2

0

Разложим частное на множители

2х² – 5х +2 = 0

х₂ = 2; х₃ =

Данный многочлен имеет корни х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = и разлагается на множители в виде:

3. Простейшие рациональные дроби.

Определение 1. Дробь , где P (x) и Q (x) многочлены разных степеней, называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае дробь является неправильной.

Определение 2. Правильные рациональные дроби видов

1.

2. k > 1

3. D < 0

4. D < 0, k > 1

называют простейшими дробями I, II, III, IY типов (по нумерации дробей).

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

=

Замечание. Если дробь неправильная, то путем деления числителя на знаменатель выделяют целую часть. То есть любую неправильную дробь можно представить в виде суммы целой части и правильной дроби, числителем которой будет остаток от деления, числителя на знаменатель.

4. Методы вычисления коэффициентов числителя.

1. Если степень знаменателя совпадает с количеством его корней, то для вычисления коэффициентов применяют метод частных значений, который заключается в том, что, полученному после преобразований, тождеству задают значения, равные корням знаменателя, при этом получая значения коэффициентов.

Пример 1. Разложить дробь на простейшие

Решение. Все простейшие дроби в разложении будут дробями I типа.

=

Степень знаменателя совпадает с количеством корней, поэтому, для нахождения коэффициентов А, В, С, применим метод частных значений. Приведем последнее равенство к общему знаменателю и приравняем числители.

Зададим переменной Х значение корней знаменателя:

1) Х=2 5 = - 3 А, А = -

2) Х = -1 2 = - 12 В, В = -

3) Х = 3 6 = 4 С, С =

т.е. полное разложение имеет вид

2. Если знаменатель не имеет действительных корней, то для нахождения коэффициентов используют метод сравнения, который заключается в сравнении коэффициентов, стоящих при одинаковых степенях переменной Х.

Пример 2. Разложить дробь на простейшие

Знаменатель не имеет действительных корней, следовательно, в разложении будут дроби III типа.

=

Приведем к общему знаменателю правую часть и сравним числители

Для нахождения коэффициентов A, B, C, D раскроем скобки и применим метод сравнения

Сравним коэффициенты:

При х³

При х²

При х

При х⁰

Для нахождения коэффициентов решим систему

A + C = 0

B + D = 0

3A + C = 0

3B + D = 2

Получим A = 0, C = 0, B = 1, D = -1

3. Если степень знаменателя больше количества действительных корней, то применяют комбинированный метод нахождения коэффициентов, совмещая оба метода одновременно.

Пример 3. Разложить на простейшие дробь

Знаменатель имеет единственный действительный двукратный корень х = 1, следовательно

в разложении будут дроби III, II, I типов.

Применим комбинированный метод нахождения коэффициентов

Х = 1, 1 = 2C, С =

В последнем равенстве раскроем скобки

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях:

При Х³ 0 = А + D

При х² 0 = - 2А + В + С - D

При х 1 = А – 2В + D

При х⁰ 0 = B + C – D

Решая систему

А + D = 0 Решая систему получим:

- 2А + В + С – D = 0 А=0, В= , D=0

А – 2В + D = 1

B + C – D = 0

.

Лекции 24 - 26. Дифференцирование функции одной переменной

Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о мгновенной скорости.

Пусть путь, пройденный материальной точкой за время t, задан формулой S=S(t). Тогда при изменении времени от t до t + t средняя скорость точки

.

Поскольку скорость при изменении t может существенно меняться, то актуальным является понятие мгновенной скорости для времени t, т.е.

(1)

2. Задача плотности неоднородного стержня.

Один из концов стержня примем за начало отсчета и расстояние от него до какой-либо точки стержня обозначим за х. Масса стержня в каждой его точке описывается формулой m=m(x).

x

0 x x+x x

рис.1.

Пусть часть стержня длины х имеет массу m, а длины х + х – массу m + m, тогда участок длины х имеет массу - m. Средняя плотность на участке х определяется отношением

_ср= .

Под плотностью  стержня в точке х принимаем предел средней плотности стержня длиной х, когда х0 (рис.1.)

(2.)

Мы рассмотрели две различные по своей сути задачи, приводящие к пределам одинаковой формы. Можно привести еще примеры, в которых рассматривается скорость изменения одной величины в зависимости от другой. Так теплоемкость тела при данной температуре, определяется как предел отношения изменения количества тепла Q к изменению температуры t:

(3.)

Во всех трех случаях считаем, что соответствующие пределы существуют.