1. Если система (3.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

2. Если = =0, система имеет бесконечно много решений.

3. Если =0, а хотя бы один из то система не имеет решений.

Примеры. Решить системы:

1. 

► Найдем все нужные определители:

следовательно, система имеет единственное решение.

Отсюда ◄

2. .► Здесь поскольку имеет два одинаковых столбца.

Следовательно, система не имеет единственного решения. Найдем и

поэтому система имеет бесконечно много решений.◄

3. .► Для этой системы но

следовательно, решений нет.◄

3.3. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим линейную систему (3.2): и введем следующие обозначения:

- матрица системы, - столбец неизвестных,

- столбец свободных членов. Тогда систему (3.2) можно записать в виде матричного уравнения:

АХ = В(3.4)

Пусть матрица А – невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица

Умножим обе части равенства (3.4) слева на Получим

Но тогда , а

(3.5)

Итак, решением матричного уравнения (3.4) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы (3.2).

Пример. Вернемся к системе

►Для нее Найдем :

Следовательно,

Таким образом, х = 1, у = 2, z = 3.◄

3. 4. Метод Гаусса решения линейных систем.

Назовем расширенной матрицей системы (3.2) матрицу вида ,

а матрицей системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных

Теорема (Кронекера-Капелли). Система (3.2) совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

▄

1. Необходимость. Пусть система (3.2) совместна и ее решение. Тогда

(3.6)

то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора. Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, то есть

2. Достаточность. Если то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации то эти числа будут решением системы (3.2), т.е. эта система совместна. ▄

Замечание. Линейная система (3.2) может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Схема исследования и решения системы

Находим ранг расширенной матрицы. Если то система несовместна. Если то система имеет решение. Составим систему с новыми коэффициентами, взятыми из расширенной матрицы, которая имеет вид:

а) треугольника (3.7)

если число уравнений равно числу неизвестных. Тогда система имеет единственное решение. Его находим обратным ходом. Из последнего уравнения системы (3.7) единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

б) трапеции (3.8)

Тогда система имеет множество решений. Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:

(3.9)

Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных выражающее их через остальные неизвестные ( ), которым можно придавать любые произвольные значения. Таким образом, система (3.2) при r<n является неопределенной, то есть имеет множество решений.

Определение. Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные ( ) – свободными неизвестными.

Примеры. Исследовать систему

1. .

► . Значит, система имеет единственное решение.

.◄ Ответ (1;2).

2.

►

Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – первую, умноженную на 5.

Получим: . Теперь вычтем из третьей строки удвоенную вторую, а затем разделим вторую строку на –7 (коэффициент при у), а третью – на 15 (новый коэффициент при z). . .

Система имеет единственное решение и примет вид:

. Отсюда ◄Ответ (1;2;3).

3. .

► . Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй строкой, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей строкой, получим .Из двух одинаковых строк оставляем одну

. . Система имеет множество решений.

В системе осталось два уравнения: . Ее решение можно записать в виде: .◄Ответ .

3. .

►

.

Следовательно, система не имеет решения.◄