- •Тексты лекций по математике I семестр
- •1.3. Перемножение матриц.
- •1.4. Определители второго и третьего порядков
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6.Разложение определителя по строке.
- •2.1. Обратная матрица.
- •2.2. Решение матричных уравнений
- •2.3. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы
- •2.4. Теорема о ранге.
- •3.1. Основные понятия о системах линейных уравнений
- •3.2. Правило Крамера.
- •1. Если система (3.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •3.3. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •3. 4. Метод Гаусса решения линейных систем.
- •3.5.Общее решение однородной линейной системы.
- •5.1. Основные понятия о векторах.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Базис и координаты вектора.
- •5.4. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов.
- •Прямая на плоскости.
- •Неполные уравнения прямой.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Плоскость в пространстве
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Свойства характеристического многочлена:
- •Свойства собственных чисел и собственных векторов:
- •Свойства эллипса:
- •Гипербола.
- •Свойства гиперболы:
- •Парабола.
- •Свойства параболы:
- •Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
- •Математический анализ
- •Операции с множествами
- •Множество действительных чисел.
- •Функция.
- •Пределы функций.
- •Свойства пределов.
- •Предел числовой последовательности.
- •Свойства бесконечно малых.
- •Бесконечно большие функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •Непрерывность обратной функции.
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Натуральный логарифм и гиперболические функции.
- •Определение комплексного числа.
- •2. Вычисление рациональных корней уравнения.
- •3. Простейшие рациональные дроби.
- •4. Методы вычисления коэффициентов числителя.
- •Определение производной. Ее практическое содержание
- •Дифференцируемость и непрерывность.
- •Правила дифференцирования
- •Дифференцирование основных элементарных функций
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Дифференциал функции и его приложение
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Производные и дифференциалы функции, заданной параметрически
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Предел функции.
- •§3. Частные производные.
- •§4. Полный дифференциал функции.
- •§5. Производная по направлению. Градиент.
- •§6. Экстремум функции нескольких переменных.
- •§7. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пределы функций.
Определим понятие окрестности точки х0 как множество значений х, являющихся решениями неравенства 0<|x - x0| < δ, где δ > 0 – некоторое число. Само значение х0 может включаться в окрестность или не включаться в нее (в этом случае окрестность называется проколотой).
Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0.
Определение 17.7. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0, если такое, что |f(x) - A| < ε при
|x - x0| < δ.
Обозначение: .
Замечание. Для существования предела функции в точке х0 не требуется, чтобы функция была определена в самой этой точке.
Примеры.
Докажем, что Если |2x+1-7| < ε, то |2x - 6| < ε, |x - 3| < ε/2. Таким образом, если принять δ(ε) = ε/2, то выполнены все условия определения предела. Утверждение доказано.
Заметим, что в проколотой окрестности х=2 поэтому мы имеем право сократить дробь на (х - 2).
Определение 17.8. Функция у = f(x) имеет бесконечный предел при х, стремящемуся к х0 (стремится к бесконечности, является бесконечно большой), если такое, что |f(x)| > M при |x - x0| < δ.
Обозначение:
Определение 17.9. Число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности, если при x > X ( ), при x < -X ( ), при |x| > X (
Замечание. Бесконечный предел функции на бесконечности можно определить по аналогии с определением 17.8.
Определение 17.10. Функция у = f(x) называется ограниченной в некоторой области значений х, если существует число М>0 такое, что |f(x)|<M для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой области.
Свойства пределов.
1. Если существует (А – конечное число), то функция у = f(x) является ограниченной в некоторой окрестности (возможно, проколотой) точки х0.
▀Так как для любого ε существует такое δ, что |f(x) - A| < ε при |x - x0| < δ, то при этом |f(x)| < |A| + ε, то есть функция ограничена в рассматриваемой окрестности.▄
2. Функция не может иметь двух различных пределов при х, стремящемуся к одному и тому же значению.
▀ Пусть А и В – пределы f(x) при х→х0. Выберем ε < |A-B|. Тогда существует такое δ1, что |f(x)-A|<ε/2 при |x - x0| < δ1, и такое δ2, что |f(x)-B|<ε/2 при |x - x0| < δ2. Если выбрать в качестве δ меньшее из чисел δ1 и δ2, то значения функции f(x) для аргументов, лежащих в δ – окрестности х0, должны одновременно находиться в двух непересекающихся окрестностях, что невозможно.▄
Если и А , то существует окрестность точки х0, в которой функция f(x) сохраняет постоянный знак ( f(x)>0, если A > 0, и f(x)<0, если A < 0).
▀Достаточно выбрать ε=|A|/2. Тогда для х из некоторой окрестности х0 |f(x)-A| < |A|/2, то есть А/2 <f(x) <3A/2 при A > 0 и 3A/2 < f(x) < A/2 при A < 0. Следовательно, в выбранной окрестности f(x) сохраняет постоянный знак.▄
Односторонние пределы.
Определение 17.11. Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х0 слева (справа), если такое, что |f(x)-A|<ε при x0 – х < δ (х - х0 < δ).
Обозначения:
Теорема 17.1(второе определение предела). Функция y=f(x) имеет при х, стремящемся к х0, предел, равный А, в том и только в том случае, если оба ее односторонних предела в этой точке существуют и равны А.
▀1) Если , то и для x0 – х < δ, и для х - х0 < δ |f(x) - A|<ε, то есть
2)Если , то существует δ1: |f(x) - A| < ε при x0 – x < δ1 и δ2: |f(x) - A| < ε при х - х0 < δ2. Выбрав из чисел δ1 и δ2 меньшее и приняв его за δ, получим, что при |x - x0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть .▄