Дифференцируемость и непрерывность.

Опр. Функция, имеющая конечную производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала, называется дифференцируемой на интервале. Например, функция у = х² дифференцируема при любом х (- ; ).

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

По определению f '(х) = , т.е. х0. Если у не стремится к нулю то f '(х) или не существует или является бесконечно большой. Остается случай, когда у0, а в этом случае f(х) является непрерывной функцией. При этом выполняется такая теорема.

Теорема 1.

1) любая дифференцируемая функция в точке является непрерывной в этой точке.

2)существуют непрерывные в точках функции, но не дифференцируемые в этих точках.

■ 1) Пусть f(x) дифференцируема в точке х. Тогда существует ее производная f '(х) = . По теореме о связи функции, имеющей предел и бесконечно малую в окрестности точки х имеем:

= f '(х) + (х), у = f '(х)х + (х)х. Очевидно, при х0 и у0, это означает, что f(х) непрерывна в точке х.

2) Этот пункт иллюстрирует функция у = |х| (рис. 4.). в точке х = 0 эта функция непрерывна. Дадим х приращение х, приращение функции в точке х = 0:

у

у = |х|

0. х

рис4.

у

0 х

рис. 5.

рис 4.5.

у = |0 + х| - 0 = |х|.

Т .к. |х|= , то =1, а = -1.

Таким образом отношение при х0 слева и справа имеет различные пределы, т.е. f ' (х) не существует в точке х = 0.

Р ассмотрим еще один пример. Функция непрерывна на всей числовой прямой (рис.4.5.). покажем что в точке х = 0 эта функция не имеет производной.



Отношение ;

. ■

Правила дифференцирования

Основные правила дифференцирования сформулированы в виде теорем.

Теорема 1. Производная постоянной равна нулю.

■ Для функции у = с, у = с – с = 0; значит у' = = 0. ■

Например, (2)'=()'=(ln )'=(sin 23)'=0.

Теорема 2.(о дифференцировании суммы). Производная от суммы ограниченного числа дифференцируемых функций равна сумме производных от этих функций.

■ Пусть y = u(x) + v(x), где u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда

у' = (u + v)' = u' + v'. ■

Например, (х² + х + 3)' = 2х + 1.

Т еорема 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x) имеет вид

(uv)' = u'v + uv' (9.)

■ Пусть y = u(x)v(x); у = (u + u)(v + v) – uv = uv + uv + vu + uv – uv = uv + vu + uv. Тогда производная

у'=(uv)'= = vu' + uv'+ + u'0 = u'v + uv'.

Здесь мы воспользовались непрерывностью функции v = v(x), т.е. =0. ■

С ледствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

(cf(x))' = c(f(x))' (10.)

Теорема 4. Производная частного двух дифференцируемых функций u(x) и v(x) (v(x) 0) имеет вид:

(11.)

Пример. Продифференцировать функцию .

Решение.

Пусть переменная у есть некоторая функция аргумента u, а переменная u в свою очередь есть функция аргумента х. Тогда у, как функция аргумента х, называется сложной (функция от функции) и обозначается у = f(u(x)), u назовем промежуточным аргументом, например, y = ln(x+3), u = x+3, y = ln u;

y = sin(x²), u = x², y = sin u;

y = sin² x, u = sin x, y = u².

Правило: за промежуточный аргумент у сложной функции принимается та величина, над которой совершается последнее действие при вычислении значения функции при заданном значении аргумента.

Например, y = arctg x², последнее действие при вычислении значения этой функции – это вычисление арктангенса, - производится над выражением х², значит промежуточный аргумент этой функции u = x², а y = arctg u.

Т еорема 5.(производная сложной функции). Пусть функции y = f(u(x)) и u = u(x) дифференцируемы в соответствующих точках, тогда производная сложной функции y = f(u(x)) равна

y'_x = y'_u u'_x (12.)

■ Функции y = f(u) и u = u(x) дифференцируемы, значит непрерывны, поэтому при х0, u0 и у0.

Отношение представим в виде: и перейдем к пределу:

y'_u u'_x ■

Правило: чтобы найти производную сложной функции, нужно производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента.

Пример. Найти производную функции y = (3x² + 5x – 2)².

Решение: промежуточный аргумент u=3x²+5x–2, у=u². Значит

у'=((3x²+5x–2)²)'=|u=3x²+5x–2|=(u²)'=2uu'=2(3x²+5x-2) (3x²+5x-2)’= =2(3x²+5x–2)(6x+5).