Задача коммивояжера

Задача коммивояжера (traveling salesman problem) тесно связана с задачей поиска Гамильтонова пути. Она формулируется так: найти самый короткий Гамильтонов путь для сети.

========220

Эта задача имеет примерно такое же отношение к задаче поиска Гамильтонова пути, как обобщенный случай задачи о разбиении к простой задаче о разбиении. В первом случае возникает вопрос о существовании решения. Во втором — какое приближенное решение будет наилучшим. Если бы существовало простое решение второй задачи, то его можно было бы использовать для решения первого варианта задачи.

Обычно задача коммивояжера возникает только в сетях, содержащих большое число Гамильтоновых путей. В типичном примере, коммивояжеру требуется посетить несколько клиентов, используя кратчайший маршрут. В случае обычной сети улиц, любые две точки в сети связаны между собой, поэтому любой маршрут представляет собой Гамильтонов путь. Задача заключается в том, чтобы найти самый короткий из них.

Так же как и в случае поиска Гамильтонова пути, дерево решений для этой задачи содержит порядка O(N!) узлов. Так же, как и в обобщенной задаче о разбиении, для отсечения ветвей дерева и ускорения поиска решения задач средних размеров можно использовать метод ветвей и границ.

Существует также несколько хороших эвристических методов последовательных приближений для задачи коммивояжера. Например, использование стратегии пар путей, при которой перебираются пары отрезков маршрута. Программа проверяет, станет ли маршрут короче, если удалить пару отрезков и заменить их двумя новым, так чтобы маршрут при этом оставался замкнутым. На рис. 8.10 показано как изменяется маршрут, если отрезки X₁ и X₂ заменить отрезками Y₁ и Y₂. Аналогичные стратегии последовательных приближений рассматривают замену трех или более отрезков пути одновременно.

Обычно такие шаги последовательного приближения повторяются многократно или до тех пор, пока не будут проверены все возможные пары отрезков пути. После того, как дальнейшие шаги не приводят к улучшениям, можно сохранить результат и начать работу снова, случайным образом выбрав другой исходный маршрут. После проверки достаточно большого числа различных случайных исходных маршрутов, вероятно будет найден достаточно короткий путь.

Задача о пожарных депо

Задача о пожарных депо (firehouse problem) формулируется так: если задана сеть, некоторое число F, и расстояние D, то существует ли способ размесить F пожарных депо таким образом, чтобы все узлы сети находились не дальше, чем на расстоянии D от ближайшего пожарного депо?

@Рис. 8.10. Последовательное приближение при решении задачи коммивояжера

========221

Эту задачу можно смоделировать при помощи дерева решений, в котором каждая ветвь определяет местоположение соответствующего пожарного депо в сети. Корневой узел будет иметь N ветвей, соответствующих размещению первого пожарного депо в одном из N узлов сети. Узлы на следующем уровне дерева будут иметь N – 1 ветвей, соответствующих размещению второго пожарного депо в одном из оставшихся N – 1 узлов. Если всего существует F пожарных депо, то высота дерева решений будет равна F, и оно будет содержать порядка O(N^F) узлов. В дереве будет N * (N – 1) * … * (N – F) листьев, соответствующих разным вариантам размещения пожарных депо в сети.

Так же, как и в задачах о выполнимости, разбиении, и поиске Гамильтонова пути, в этой задаче нужно дать положительный или отрицательный ответ на вопрос. Это означает, что при проверке дерева решений нельзя использовать частичные или приближенные решения.

Можно, тем не менее, использовать разновидность метода ветвей и границ, если на ранних этапах решения определить, какие из вариантов размещения пожарных депо не приводят к решению. Например, бессмысленно помещать очередное депо между двумя другими, расположенными рядом. Если все узлы на расстоянии D от нового пожарного депо уже находятся в пределах этого расстояния от другого депо, значит, новое депо нужно поместить в какое‑то другое место. Тем не менее, такого рода вычисления также отнимают достаточно много времени, и задача все еще остается очень сложной.

Так же, как и для задач о разбиении и поиске Гамильтонова пути, существует обобщенный случай задачи о пожарных депо. В обобщенном случае задача формулируется так: если задана сеть и некоторое число F, в каких узлах сети нужно поместить F пожарных депо, чтобы наибольшее расстояние от любого узла до пожарного депо было минимальным?

Так же, как и обобщенных случаях других задач, для поиска частичного и приближенного решений этой задачи можно использовать метод ветвей и границ и эвристический подход. Это несколько упрощает проверку дерева решений. Хотя дерево решений все еще остается огромным, можно по крайней мере найти приблизительные решения, даже если они и не являются наилучшими.