- •Глава 1. Основные понятия 14
- •Глава 2. Списки 30
- •Глава 3. Стеки и очереди 59
- •Глава 4. Массивы 74
- •Глава 5. Рекурсия 86
- •Глава 6. Деревья 121
- •Глава 7. Сбалансированные деревья 153
- •Глава 8. Деревья решений 180
- •Глава 9. Сортировка 213
- •Введение
- •Целевая аудитория
- •Глава 1. Основные понятия
- •Что такое алгоритмы?
- •Анализ скорости выполнения алгоритмов
- •Пространство — время
- •Оценка с точностью до порядка
- •Поиск сложных частей алгоритма
- •Сложность рекурсивных алгоритмов
- •Многократная рекурсия
- •Косвенная рекурсия
- •Требования рекурсивных алгоритмов к объему памяти
- •Наихудший и усредненный случай
- •Часто встречающиеся функции оценки порядка сложности
- •Логарифмы
- •Реальные условия — насколько быстро?
- •Обращение к файлу подкачки
- •Псевдоуказатели, ссылки на объекты и коллекции
- •Коллекции
- •Вопросы производительности
- •Глава 2. Списки
- •Знакомство со списками
- •Простые списки
- •Коллекции
- •Список переменного размера
- •Класс SimpleList
- •Неупорядоченные списки
- •Связные списки
- •Добавление элементов к связному списку
- •Удаление элементов из связного списка
- •Уничтожение связного списка
- •Сигнальные метки
- •Инкапсуляция связных списков
- •Доступ к ячейкам
- •Разновидности связных списков
- •Циклические связные списки
- •Проблема циклических ссылок
- •Двусвязные списки
- •Другие связные структуры
- •Псевдоуказатели
- •Глава 3. Стеки и очереди
- •Множественные стеки
- •Очереди
- •Циклические очереди
- •Очереди на основе связных списков
- •Применение коллекций в качестве очередей
- •Приоритетные очереди
- •Многопоточные очереди
- •Модель очереди
- •Глава 4. Массивы
- •Треугольные массивы
- •Диагональные элементы
- •Нерегулярные массивы
- •Прямая звезда
- •Нерегулярные связные списки
- •Разреженные массивы
- •Индексирование массива
- •Очень разреженные массивы
- •Глава 5. Рекурсия
- •Что такое рекурсия?
- •Рекурсивное вычисление факториалов
- •Анализ времени выполнения программы
- •Рекурсивное вычисление наибольшего общего делителя
- •Анализ времени выполнения программы
- •Рекурсивное вычисление чисел Фибоначчи
- •Анализ времени выполнения программы
- •Рекурсивное построение кривых Гильберта
- •Анализ времени выполнения программы
- •Рекурсивное построение кривых Серпинского
- •Анализ времени выполнения программы
- •Опасности рекурсии
- •Бесконечная рекурсия
- •Потери памяти
- •Необоснованное применение рекурсии
- •Когда нужно использовать рекурсию
- •Хвостовая рекурсия
- •Нерекурсивное вычисление чисел Фибоначчи
- •Устранение рекурсии в общем случае
- •Нерекурсивное построение кривых Гильберта
- •Нерекурсивное построение кривых Серпинского
- •Глава 6. Деревья
- •Определения
- •Представления деревьев
- •Полные узлы
- •Списки потомков
- •Представление нумерацией связей
- •Полные деревья
- •Обход дерева
- •Упорядоченные деревья
- •Добавление элементов
- •Удаление элементов
- •Обход упорядоченных деревьев
- •Деревья со ссылками
- •Работа с деревьями со ссылками
- •Квадродеревья
- •Изменение max_per_node
- •Использование псевдоуказателей в квадродеревьях
- •Восьмеричные деревья
- •Глава 7. Сбалансированные деревья
- •Сбалансированность дерева
- •Авл‑деревья
- •Вращения авл‑деревьев
- •Правое вращение
- •Левое вращение
- •Вращение влево‑вправо
- •Вращение вправо‑влево
- •Вставка узлов на языке Visual Basic
- •Удаление узла из авл‑дерева
- •Левое вращение
- •Вращение вправо‑влево
- •Другие вращения
- •Реализация удаления узлов на языке Visual Basic
- •Б‑деревья
- •Производительность б‑деревьев
- •Вставка элементов в б‑дерево
- •Удаление элементов из б‑дерева
- •Разновидности б‑деревьев
- •Нисходящие б‑деревья
- •Улучшение производительности б‑деревьев
- •Балансировка для устранения разбиения блоков
- •Добавление свободного пространства
- •Вопросы, связанные с обращением к диску
- •Псевдоуказатели
- •Выбор размера блока
- •Кэширование узлов
- •Глава 8. Деревья решений
- •Поиск в деревьях игры
- •Минимаксный поиск
- •Улучшение поиска в дереве игры
- •Предварительное вычисление начальных ходов
- •Определение важных позиций
- •Эвристики
- •Поиск в других деревьях решений
- •Метод ветвей и границ
- •Эвристики
- •Восхождение на холм
- •Метод наименьшей стоимости
- •Сбалансированная прибыль
- •Случайный поиск
- •Последовательное приближение
- •Момент остановки
- •Локальные оптимумы
- •Алгоритм «отжига»
- •Сравнение эвристик
- •Другие сложные задачи
- •Задача о выполнимости
- •Задача о разбиении
- •Задача поиска Гамильтонова пути
- •Задача коммивояжера
- •Задача о пожарных депо
- •Краткая характеристика сложных задач
- •Глава 9. Сортировка
- •Общие соображения
- •Объединение и сжатие ключей
- •Примеры программ
- •Сортировка выбором
- •Рандомизация
- •Сортировка вставкой
- •Вставка в связных списках
- •Пузырьковая сортировка
- •Быстрая сортировка
- •Сортировка слиянием
- •Пирамидальная сортировка
- •Пирамиды
- •Приоритетные очереди
- •Анализ пирамид
- •Алгоритм пирамидальной сортировки
- •Сортировка подсчетом
- •Блочная сортировка
- •Блочная сортировка с применением связного списка
- •Блочная сортировка на основе массива
- •Глава 10. Поиск
- •Примеры программ
- •Поиск методом полного перебора
- •Поиск в упорядоченных списках
- •Поиск в связных списках
- •Двоичный поиск
- •Интерполяционный поиск
- •Строковые данные
- •Следящий поиск
- •Интерполяционный следящий поиск
- •Глава 11. Хеширование
- •Связывание
- •Преимущества и недостатки связывания
- •Хранение хеш‑таблиц на диске
- •Связывание блоков
- •Удаление элементов
- •Преимущества и недостатки применения блоков
- •Открытая адресация
- •Линейная проверка
- •Первичная кластеризация
- •Упорядоченная линейная проверка
- •Квадратичная проверка
- •Псевдослучайная проверка
- •Удаление элементов
- •Рехеширование
- •Изменение размера хеш‑таблиц
- •Глава 12. Сетевые алгоритмы
- •Определения
- •Представления сети
- •Оперирование узлами и связями
- •Обходы сети
- •Наименьшие остовные деревья
- •Кратчайший маршрут
- •Установка меток
- •Варианты метода установки меток
- •Коррекция меток
- •Варианты метода коррекции меток
- •Другие задачи поиска кратчайшего маршрута
- •Двухточечный кратчайший маршрут
- •Вычисление кратчайшего маршрута для всех пар
- •Штрафы за повороты
- •Небольшое число штрафов за повороты
- •Большое число штрафов за повороты
- •Применения метода поиска кратчайшего маршрута
- •Разбиение на районы
- •Составление плана работ с использованием метода критического пути
- •Планирование коллективной работы
- •Максимальный поток
- •Приложения максимального потока
- •Непересекающиеся пути
- •Распределение работы
- •Глава 13. Объектно‑ориентированные методы
- •Преимущества ооп
- •Инкапсуляция
- •Обеспечение инкапсуляции
- •Полиморфизм
- •Зарезервированное слово Implements
- •Наследование и повторное использование
- •Парадигмы ооп
- •Управляющие объекты
- •Контролирующий объект
- •Итератор
- •Дружественный класс
- •Интерфейс
- •Порождающий объект
- •Единственный объект
- •Преобразование в последовательную форму
- •Парадигма Модель/Вид/Контроллер.
- •Контроллеры
- •Виды/Контроллеры
- •Требования к аппаратному обеспечению
- •Выполнение программ примеров
Варианты метода установки меток
Узкое место этого алгоритма заключается в поиске узла с наименьшим значением поля Dist в списке возможных узлов. Некоторые варианты этого алгоритма используют другие структуры данных для хранения списка возможных узлов. Например, можно было бы использовать упорядоченный связный список. При использовании этого метода потребуется только один шаг для того, чтобы найти следующий узел, который будет добавлен к дереву кратчайшего маршрута. Этот список будет всегда упорядоченным, поэтому узел на вершине списка всегда будет искомым узлом.
Это облегчит поиск нужного узла в списке, но усложнит добавление узла в него. Вместо того чтобы просто помещать узел в начало списка, его придется поместить в нужную позицию.
Иногда также требуется перемещать узлы в списке. Если в результате добавления узла в дерево кратчайшего маршрута уменьшилось кратчайшее расстояние до другого узла, который уже был в списке, то нужно переместить этот элемент ближе к вершине списка.
Предыдущий алгоритм и этот его новый вариант представляют собой два крайних случая управления списком возможных узлов. Первый алгоритм совсем не упорядочивает список и тратит достаточно много времени на поиск узлов в сети. Второй тратит много времени на поддержание упорядоченности списка, но может очень быстро выбирать из него узлы. Другие варианты используют промежуточные стратегии.
Например, можно использовать для хранения списка возможных узлов приоритетную очередь на основе пирамид, тогда можно будет просто выбрать следующий узел с вершины пирамиды. Вставка нового узла в пирамиду и ее переупорядочение будет выполняться быстрее, чем аналогичные операции для упорядоченного связного списка. Другие стратегии используют сложные схемы организации блоков для того, чтобы упростить поиск возможных узлов.
Некоторые из этих вариантов достаточно сложны. Из‑за этой их сложности эти алгоритмы для небольших сетей часто выполняются медленнее, чем более простые алгоритмы. Тем не менее, для очень больших сетей или сетей, в которых каждый узел имеет очень большое число связей, выигрыш от применения этих алгоритмов может стоить дополнительного усложнения.
Коррекция меток
Как и алгоритм установки меток, этот алгоритм начинает с обнуления значения поля Dist корневого узла и помещает корневой узел в список возможных узлов. При этом значения полей Dist остальных узлов устанавливаются равными бесконечности. Затем для вставки в дерево кратчайшего маршрута выбирается первый узел в списке возможных узлов.
После этого алгоритм проверяет узлы, соседние с выбранным, выясняя, будет ли расстояние от корня до выбранного узла плюс цена связи меньше, чем текущее значение поля Dist соседнего узла. Если это так, то поля Dist и InLink соседнего узла обновляются так, чтобы кратчайший маршрут к соседнему узлу проходил через выбранный узел. Если соседний узел при этом не находился в списке возможных узлов, то алгоритм также добавляет его к списку. Заметьте, что алгоритм не проверяет, попадал ли этот узел в список раньше. Если путь от корня до соседнего узла становится короче, узел всегда добавляется в список возможных узлов.
Алгоритм продолжает удалять узлы из списка возможных узлов, проверяя соседние с ними узлы и добавляя соседние узлы в список до тех пор, пока список не опустеет.
Если внимательно сравнить алгоритмы установки меток и коррекции меток, то видно, что они похожи. Единственное отличие заключается в том, как каждый из них выбирает элементы из списка возможных узлов для вставки в дерево кратчайшего маршрута.
=====331
Алгоритм установки меток всегда выбирает связь, которая гарантированно находится в дереве кратчайшего маршрута. При этом после того, как узел удаляется из списка возможных узлов, он навсегда помещается в дерево и больше не попадает в список возможных узлов.
Алгоритм корректировки всегда выбирает первый узел из списка возможных узлов, который не всегда может быть наилучшим выбором. Значения полей Dist и InLink этого узла могут быть не наилучшими из возможных. В этом случае алгоритм, в конце концов, найдет в списке узел, через который проходит более короткий путь к выбранному узлу. Тогда алгоритм обновляет поля Dist и InLink и снова помещает обновленный узел в список возможных узлов.
Алгоритм может использовать новый путь для создания других путей, которые он мог пропустить раньше. Помещая обновленный узел снова в список обновленных узлов, алгоритм гарантирует, что этот узел будет проверен снова и будут найдены все такие пути.
Private Sub FindPathTree(root As PathCNode)
Dim candidates As New Collection
Dim node_dist As Integer
Dim new_dist As Integer
Dim node As PathCNode
Dim to_node As PathCNode
Dim link As PathCLink
If root Is Nothing Then Exit Sub
' Сбросить поля Marked и NodeStatus для всех узлов,
' и флаги Used и InPathTree для всех связей.
ResetPathTree
' Начать с корня дерева кратчайшего маршрута.
root.Dist = 0
Set root.InLink = Nothing
root.NodeStatus = NOW_IN_LIST
candidates.Add root
Do While candidates.Count > 0
' Добавить узел в дерево кратчайшего маршрута.
Set node = candidates(1)
candidates.Remove 1
node_dist = node.Dist
node.NodeStatus = NOT_IN_LIST
' Проверить соседние узлы.
For Each link In node.Links
If node Is link.Node1 Then
Set to_node = link.Node2
Else
Set to_node = link.Node1
End If
' Проверить, существует ли более короткий
' путь через этот узел.
new_dist = node_dist + link.Cost
If to_node.Dist > new_dist Then
' Путь лучше. Обновить значения Dist и InLink.
Set to_node.InLink = link
to_node.Dist = new_dist
' Добавить узел в список возможных узлов,
' если его там еще нет.
If to_node.NodeStatus = NOT_IN_LIST Then
candidates.Add to_node
to_node.NodeStatus = NOW_IN_LIST
End If
End If
Next link
Loop
' Пометить входящие связи, чтобы их было проще вывести.
For Each node In Nodes
If Not (node.InLink Is Nothing) Then _
node.InLink.InPathTree = True
Next node
' Перерисовать сеть.
DrawNetwork
End Sub
В отличие от алгоритма установки меток, этот алгоритм не может работать с сетями, которые содержат циклы с отрицательной ценой. Если встречается такой цикл, то алгоритм бесконечно перемещается по связям внутри него. При каждом обходе цикла расстояние до входящих в него узлов уменьшается, при этом алгоритм снова помещает узлы в список возможных узлов, и снова может проверять их в дальнейшем. При следующей проверке этих узлов, расстояние до них также уменьшится, и так далее. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока расстояние до этих узлов не достигнет нижнего граничного значения -32.768, если длина пути задана целым числом. Если известно, что в сети имеются циклы с отрицательной ценой, то проще всего просто использовать для работы с ней метод установки, а не коррекции меток.
Программа PathC использует этот алгоритм коррекции меток для вычисления кратчайшего маршрута. Она аналогична программе PathS, но использует метод коррекции, а не установки меток.
=======333