4.2. Оценка безопасности движения при вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы и наличии фрикционных гасителей

Рассмотрим вынужденные колебания системы при наличии фрикционных гасителей колебаний, реализующих силы сухого трения, пропорциональные прогибу рессорного подвешивания.

Не будем учитывать силу тяжести (вес груза), зная, что колебания происходят относительно положения статического равновесия. Перепишем уравнение (4.7) в виде

(4.27)

где: .

Уравнение (4.27) описывает вынужденные колебания груза при наличии сил сухого трения, является нелинейным и часто решается численными методами интегрирования. Аналитически рассмотрим решение задачи на конкретных участках колебательного процесса, где силы сухого трения имеют одно направление (один знак) в зависимости от исполняемого движения.

Будем считать, что в первоначальный момент движения, величина и тогда на этом участке при времени , уравнение будет иметь вид

(4.28)

Разделим на m, получим

(4.29)

Обозначим ; , так как

, а ; , где - стрела трения,

Тогда получим уравнение

(4.30)

Перепишем уравнение (4.30) в виде

(4.31)

Так как величина , то обозначив через

(4.32)

потому что , получим

Однородное уравнение (4.33), как показано в (4.14), имеет чисто мнимые корни: , то есть имеет место колебательный процесс с периодом колебаний (4.15).

Будем искать решение уравнения (4.33) на конкретном рассматриваемом участке при и в виде

Продифференцировав (4.34) два раза и подставив в (4.33), получим

или

(4.36)

Из (4.36) находим при сокращении на

(4.37)

Следовательно, для рассматриваемого участка решение будет иметь вид

(4.38)

а с учетом замены (4.32), получим

(4.39)

Определим

(4.40)

(4.41)

и найдем

(4.42)

или (4.43)

Из (4.43) следует, что при , что имеет место при малых скоростях движения и больших длинах волн неровностей на рассматриваемом участке , где , значения , что и предполагалось в начале рассмотрения задачи если же , то тогда решение имеет вид

(4.44)

При или , смотри уравнение (4.39), (4.43), (4.44) наступает явление резонанса.

В зависимости от расчетных значений (4.39), (4.40) и (4.44) колебания на каждом рассматриваемом участке могут затухать (силы трения являются положительными) или же нарастать (силы трения являются отрицательными и способствуют генерированию колебаний). На рис. 4.6, 4.7 соответственно показаны примеры затухания и нарастания колебания в зависимости от того, что силы сухого трения направлены в сторону противоположную движению (затухание), или же в сторону движения (нарастание колебаний)

Рис. 4.6 График затухающих колебаний при положительных силах сухого трения

Рис 4.7 График нарастающих амплитуд колебаний при отрицательных силах сухого трения

На рис. 4.6 следует, что при положительных значениях сил сухого трения, когда они направлены в сторону, противоположную направлению движения, колебательные процессы всегда затухают. Но на железнодорожном пути имеется целый комплекс силовых и геометрических неровностей, которые приводят к тому, что силы сухого трения становятся отрицательными и направлены в сторону движения, то есть способствующими нарастанию, генерированию колебаний. На рис. 4.7 показано нарастание колебаний системы, движущейся по железнодорожному пути, имеющему ансамбль неровностей, и поэтому силы сухого трения становятся на отдельных участках колебательного процесса отрицательными, направленными (по направлению) в сторону движения.

В эксплуатации установившиеся вынужденные колебания подвижного состава при фрикционных гасителях колебаний представляют собой интегрированные из рис. 4.6 и 4.7 данные, содержащие затухающие на отдельных участках колебательные процессы и нарастающие амплитуды – на других участках.

Задача 6

Рассмотрим вынужденные колебания системы при наличии фрикционных гасителей колебаний, реализующих силы сухого трения, пропорциональные прогибу рессорного подвешивания.

Не будем учитывать силу тяжести (вес груза), зная, что колебания происходят относительно положения статического равновесия. Перепишем уравнение (4.7) в виде

где: .

Уравнение описывает вынужденные колебания груза при наличии сил сухого трения, является нелинейным и часто решается численными методами интегрирования. Рассмотрим решение задачи на конкретных участках колебательного процесса, где силы сухого трения имеют одно направление в зависимости от исполняемого движения.

Будем считать, что в первоначальный момент движения, величина и тогда на этом участке при времени , уравнение будет иметь вид

Разделим на m, получим

Обозначим ; , так как

, а ; , где - стрела трения,

Тогда получим уравнение

Перепишем уравнение в виде

Так как величина , то обозначив через

потому что , получим

Однородное уравнение имеет чисто мнимые корни: , то есть имеет место колебательный процесс с периодом колебаний.

Будем искать решение уравнения на конкретном рассматриваемом участке при и в виде

Продифференцировав два раза и подставив в исходное, получим

или

Из находим при сокращении на

Следовательно, для рассматриваемого участка решение будет иметь вид

а с учетом замены, получим

Определим

и найдем

или

Из уравнения следует, что при , что имеет место при малых скоростях движения и больших длинах волн неровностей на рассматриваемом участке , где , значения , что и предполагалось в начале рассмотрения задачи если же , то тогда решение имеет вид

При или , наступает явление резонанса.