4.1. Оценка собственных колебаний системы с одной степенью свободы и наличии фрикционных гасителей

Рассмотрим собственные колебания системы, положив в уравнение (4.7) , тогда получим уравнение вида

(4.8)

Будем считать, что в первоначальный момент колебательного процесса скорость отрицательная, и . Тогда на участке , где , а может быть равно , уравнение (4.8) будет иметь вид

(4.9)

Рассмотрим аналитическое решение уравнения при на участке

Разделим уравнение (4.9) на , получим

(4.10)

Обозначив , , так как , а ; ,

где: - стрела трения; , получим уравнение (4.10) в виде

(4.11)

или

(4.12)

Так как величина является постоянной, то, обозначив через получим

.

Решая характеристическое уравнение, соответствующее выражению (4.13), найдем его корни

(4.14)

Которые являются чисто мнимыми, то есть имеет место на рассматриваемом участке колебательный процесс с периодом колебаний

Следовательно, решением нелинейного уравнения (4.9) на участке где , будет выражение вида

(4.16)

где: - круговая частота колебательного процесса.

Определим постоянные интегрирования А и В, исходя из условий решения уравнения (4.16), то есть начальные значения будут отсчитываться от положения

(4.17)

Продифференцируем уравнение (4.16) один раз, получим

(4.18)

Пусть при t=0, и . Тогда А= и В=0 и при принятых равных условиях уравнение (4.16) будет иметь вид

(4.19)

С учетом сделанной замены (4.13), найдем

(4.20)

Продифференцируем (4.20) один раз, найдем

(4.21)

то есть на участке при , что и предполагалось при определении решения. Следовательно, выражение (4.20) является аналитическим решением исходного уравнения (4.9) на рассматриваемом участке.

Очевидно, что при , на втором участке и уравнение движения (4.20) будет иметь вид

(4.22)

В уравнении (4.22) амплитуда определяется по данным окончания процесса колебаний на первом участке, круговая и линейная частоты колебаний увеличились в рад, а период колебаний равен

(4.23)

уменьшился во столько же раз.

Рассматривая точку перехода с конца одного направления движения на начало другого направления (когда колебания меняют направление движения, движение останавливается), получим для этой точки уменьшение амплитуд колебаний. То есть при отсутствии движения , вычитая из уравнения (4.20) выражение (4.22), получим, что в точке перехода амплитуда колебаний уменьшается на - на две стрелы трения. То есть амплитуды колебаний убывают в арифметической прогрессии. Этот случай соответствует колебаниям тела при силах трения , независящих от прогиба рессорного подвешивания. Тогда, при постоянных значениях сил трения, уравнения движения, соответствующие (4.20) и (4.22), будут иметь вид

(4.25)

Постоянные значения сил трения не влияют на изменение частоты и периода колебаний и период равен

Построим график колебательного процесса для сил сухого трения, не зависящих от прогиба рессорного подвешивания (4.4).

Рис 4.4 График затухающих собственных колебаний тела при наличии постоянных значений сил сухого трения

Анализируя график (4.4) следует сказать, что в точках изменения направления движения линия, относительно которой происходят колебания, каждый раз уменьшает амплитуду колебаний на и т.д.

Тело совершает затухающие колебательные процессы до тех пор, пока максимальное значение амплитуды колебаний не уменьшится до величины, меньшей значения суммы двух стрел трения. В этом случае тело не может преодолеть силы сопротивления гасителя колебаний и останавливается (заштрихованная зона на рис. 4.4.).

При наличии в системе сил сухого трения, пропорциональных прогибу рессорного подвешивания (как это имеет место у грузового подвижного состава) колебания происходят (4.20), (4.22) с разными периодами колебаний относительно разных положений точек отсчета.

График затухающих собственных колебаний с одной степенью свободы при наличии фрикционных гасителей, реализующих силы сухого трения, пропорциональные прогибу рессорного подвешивания, представлен на рис. 4.5.

Рис.4.5 График затухающих собственных колебаний тела на пружине с одной степенью свободы при наличии фрикционных гасителей, реализующих силы сухого трения, пропорциональные прогибу рессорного подвешивания

В результате колебательного процесса амплитуды затухают несколько интенсивнее , здесь добавляется разница в величинах прогиба, так как в расчет они входят с учетом коэффициентов относительного трения , см. (4.20), (4.22).

Анализируя график (4.4) необходимо отметить, что амплитуды затухают до тех пор, пока восстанавливающая упругая сила при очередном наибольшем отклонении от положения равновесия больше, чем сила трения. В противном случае система останавливается. Период колебаний системы равен

или приближенно при практических проектных расчетах можно принимать

Проведенный анализ показывает, что в полупериоды и происходит нагружение или разгружение рессорного комплекта (4.3.). Полученные аналитически подробные данные о характере затухающих колебаний системы с фрикционными гасителями колебаний, реализующими постоянные и зависящие от прогиба рессорного подвешивания значения сил трения, позволяют оценить динамическую нагруженность подвижного состава, эффективность диссипации колебательного процесса, определить возникновение опасных ситуаций и уровень максимальных динамических сил, угрожающих безопасности движения.

Задача 5

Рассмотрим собственные колебания системы, положив , тогда получим уравнение вида

Будем считать, что в первоначальный момент колебательного процесса скорость отрицательная, и . Тогда на участке , где , а может быть равно , уравнение будет иметь вид

Рассмотрим аналитическое решение уравнения при на участке

Разделим уравнение на , получим

Обозначив , , так как , а ; ,

где: - стрела трения; , получим уравнение в виде

или

Так как величина является постоянной, то, обозначив через получим

.

Решая характеристическое уравнение, соответствующее выражению, найдем его корни

которые являются чисто мнимыми, то есть имеет место на рассматриваемом участке колебательный процесс с периодом колебаний

Следовательно, решением нелинейного уравнения на участке где , будет выражение вида

где: - круговая частота колебательного процесса.

Определим постоянные интегрирования А и В, исходя из условий решения уравнения, то есть начальные значения будут отсчитываться от положения

Продифференцируем уравнение один раз, получим

Пусть при t=0, и . Тогда А= и В=0 и при принятых равных условиях уравнение будет иметь вид

С учетом сделанной замены, найдем

Продифференцируем один раз, найдем

то есть на участке при , что и предполагалось при определении решения. Следовательно, выражение является аналитическим решением исходного уравнения на рассматриваемом участке.

Очевидно, что при , на втором участке и уравнение движения будет иметь вид

В этом уравнении амплитуда определяется по данным окончания процесса колебаний на первом участке, круговая и линейная частоты колебаний увеличились в рад, а период колебаний равен

и уменьшился во столько же раз.

Рассматривая точку перехода с конца одного направления движения на начало другого направления (когда колебания меняют направление движения, движение останавливается), получим для этой точки уменьшение амплитуд колебаний. То есть при отсутствии движения , вычитая из уравнения выражение , получим, что в точке перехода амплитуда колебаний уменьшается на - на две стрелы трения. То есть амплитуды колебаний убывают в арифметической прогрессии. Этот случай соответствует колебаниям тела при силах трения , независящих от прогиба рессорного подвешивания. Тогда, при постоянных значениях сил трения, уравнения движения будут иметь вид

Постоянные значения сил трения не влияют на изменение частоты и периода колебаний и период равен

Амплитуды затухают до тех пор, пока восстанавливающая упругая сила при очередном наибольшем отклонении от положения равновесия больше, чем сила трения. В противном случае система останавливается. Период колебаний системы равен

или приближенно при практических проектных расчетах можно принимать

Проведенный анализ показывает, что в полупериоды и происходит нагружение или разгружение рессорного комплекта. Полученные аналитически подробные данные о характере затухающих колебаний системы с фрикционными гасителями колебаний, реализующими постоянные и зависящие от прогиба рессорного подвешивания значения сил трения, позволяют оценить динамическую нагруженность подвижного состава, эффективность диссипации колебательного процесса, определить возникновение опасных ситуаций и уровень максимальных динамических сил, угрожающих безопасности движения.