4. Построение математических моделей и оценка безопасности движения систем при наличии фрикционных систем гасителей колебаний
Рассмотрим построение математических моделей для колебательной системы, представленной на рис. 4.1 и имеющей демпфирование колебаний с помощью фрикционного гасителя.
Рис 4.1 Расчетная схема колебательно системы при наличии фрикционных гасителей колебаний, реализующих силы (Fтр) сухого трения
На рис. 4.1 представлена система с одной степенью свободы, совершающая в направлении координаты z вынужденные колебания.
Возмущающие факторы возникают от воздействия со стороны пути сил, обусловленных наличием неровности на пути. При отсутствии неровностей на пути будем рассматривать собственные колебания систем с одной степенью свободы и фрикционным гасителем колебаний.
Построим математическую модель колебаний для схемы, рис. 4.1, воспользовавшись принципом Д’аламбера (1.3). Для системы, изображенной на рис. 4.1, построим силовую схему, заменив связи реакциями связей.
Рис. 4.2 Силовая схема
При отклонении
тела в положительном направлении оси
z
в связи возникает реакция, направленная
вверх. На рис. 4.2 показаны:
-
силы инерции; R-
реакции связи, зависящая от жесткости
рессорного подвешивания, величины
динамического прогиба, а также от сил
фрикционного трения;
-
силы сухого трения.
Фрикционные гасители колебаний могут реализовывать как постоянные значения сил трения, так и значения, зависящие от прогиба рессорного подвешивания. На грузовом подвижном составе в основном устанавливаются фрикционные гасители колебаний, реализующие силы сухого трения пропорциональные прогибу рессорного подвешивания.
, (4.1)
где: 
-
const,
величина силы сухого трения, измеренная
в положении прогиба
;
-
динамический прогиб рессорного
подвешивания;
-
статический прогиб рессорного
подвешивания, возникающей от силы
тяжести Р.
Как видно из формулы (4.1), действие сил сухого трения зависит от направления движения тела и в каждый момент определяется знаком функции sign (сигнатум).
В уравнении (4.1)
,
то есть определяет направление движения
(рис. 4.3) и задача становится нелинейной.
Рис. 4.3 Силовая характеристика связи при фрикционном гасителе колебаний
Общая силовая характеристика связи с учетом сил тяжести определяется из выражения
(4.2)
и представлена на рис. 4.3. Колебания происходят относително положения статического равновесия.
Причем по линии ДК происходит нагружение рессорного комплекта, а по линии БА – разгружение.
Обозначим через
(4.3)
где: 
-
коэффициент относительного трения
рессорного подвешивания.
Тогда нагружение
рессорного подвешивания будет происходить
при жесткости
,
а разгружение – при
.
Воспользуемся принципом Д’аламбера и спроектировав все силы на ось z, получим
(4.4)
где:
;
-сила
тяжести;
-
реакция связи;
-
динамический прогиб рессорного
подвешивания. (4.5)
Подставляя, получим
(4.6)
Представляем уравнение (4.6) в виде
(4.7)
Уравнение (4.7) описывает вынужденные колебания груза при наличии сил сухого трения, является нелинейным, характеризует демпфирование колебаний системы при фрикционных гасителях колебаний. Часто нелинейные уравнения решаются различными методами численного интегрирования, когда каждый раз отыскивается путем приближенных методов численное решение задачи на шаге интегрирования.
Известно, что более полная информация может быть получена в результате аналитического решения поставленной задачи. Рассматривая конкретные участки колебательного процесса, где силы трения имеют одно направление (один знак), найдем аналитическое решение задачи для различных участков