2.1. Оценка собственных колебаний системы с одной степенью свободы без демпфирования
В
начальный момент определим динамические
характеристики для собственных колебаний
системы, положив в уравнениях (2.2)-(2.6)
.
Тогда собственные колебания будут представлены выражением вида
(2.7)
Разделим на m и домножим на с, получим:
(2,8)
Обозначим
,
а
(статический прогиб рессорного
подвешивания), получим
(2.9)
Пусть
.
Так как
,
тогда
и уравнение будет иметь вид
(2.10)
Найдем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному (2.10). Обозначив
(2.11)
затем,
подставляя выражение (2.11) в уравнение
(2.10) и сокращая на
,найдем
характеристическое уравнение в виде
(2.12)
где k - корни уравнения.
Найдем корни уравнения
(1.13)
Получились корни частотного уравнения (2.12) чисто мнимые. А коэффициент, стоящий при мнимой части корня, всегда является круговой частотой гармонических периодических колебаний, то есть
, Рад/с, (2.14)
где v - круговая частота колебаний. Тогда период колебаний равен
с, (2.15)
а линейная частота равна
,Герц (2.16)
Так как имеют место гармонические колебания с частотой v, то будем искать решение дифференциального уравнения (2.10) в виде
(2.17)
где А и В - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Продифференцируем уравнение (2.17) два раза, найдем
(2.18)
Подставив уравнения (2.17) и (2.18) в выражение (2.10), получим
0=0 (2.19)
Следовательно, выражение (2.17) является решением дифференциального уравнения (2.10).
Положим, что в начальный момент груз был оттянут от положения равновесия на величину z0, и ему не была сообщена начальная скорость.
Тогда
при
,
подставляя значения в уравнение (2.17),
получим А=z0,
и
в уравнение (2.18) B=0.
Следовательно, при заданных начальных условиях, когда груз имеет только начальное отклонение, а скорость его в начальный момент равна нулю, решение уравнения (2.10) имеет вид
(2.20)
или с учетом выражения (2.9)
(2.21)
Из уравнения (2.21) следует, что собственные свободные колебания системы (рис. 2.3) происходят без затухания колебаний (консервативная система) с частотой и амплитудой колебаний соответственно равными ν и z0 . Колебания происходят относительно положения статического равновесия fст (рис. 2.3), кривая 1.
Рис 2.3 График колебательного процесса консервативной системы: кривая 1- при начальных условиях z=zo и zI=0, кривая 2 - при начальных условиях z=z0 и zI=V0.
Изменим начальные условия задачи. Пусть в начальный момент груз был оттянут от положения равновесия на величину zo , но дополнительно ему была сообщена начальная скорость V0 . Тогда при t =0, z1=z0 и z1I=V0 из уравнений (2.17) и (2.18) получим , что А=z0 , а В=V0/ν. Следовательно, решение задачи имеет вид
(2.22)
Придадим другую форму выражению (2.22).
Положим 
,
а
(2.23)
Тогда 
;
(2.24)
Подставим выражения (2.23) в уравнение (2.22), получим
(2.25)
Как
видно из выражения (2.25) колебания тела
гармонические, величина
-
фаза колебаний, ε -сдвиг по фазе колебаний,
амплитуды колебаний одинаковы и равны
а,
то
есть весь характер движения зависит от
начальных условий задачи, жесткости
подвешивания и массы системы. Тело
совершает одно полное колебание за
промежуток
времени
Т
(период
колебаний), которое происходит при
изменении аргумента в (2.25) на 2π.
Тогда
и период колебаний равен
,
с,
где P – сила тяжести (вес груза), g – ускорение силы тяжести, равное 9,8 м/с2, fст - статический прогиб рессорного подвешивания, при расчетах подставляется в метрах. Круговая частота колебаний ν – это число полных колебаний за 2π секунд
,
рад/с,
Которая полностью определяется массой груза и жесткостью пружины и не зависит от начальных условий задачи. Линейная частота колебаний
,
Герц,
это число полных колебаний в одну секунду.
Тогда решение уравнения (2.9) будет иметь вид
(2.26)
График колебательного процесса, построенный в соответствии с решением (2.26), представлен на рис. 2.3. кривая 2.
Следует отметить, что решение уравнения (2.9) можно искать сразу с учетом fст в виде
(2.27)
Продифференцируем
уравнение (2.27) два раза и подставляя их
и выражение (2.27) в уравнение (2.9) получим
тождество, то есть (2.27) является решением
уравнения (2.9). При начальных условиях
,
получим
для уравнения (2.27) решение вида
(2.28)
Из
уравнения (2.28) видно, что колебания
происходят относительно положения
статического равновесия с амплитудой
,
где
z*
отсчитывается
от нулевого положения, a
z0
(как
было указано выше) - от положения
статического равновесия (рис. 2.3).
Анализируя данные рис. 2.3 необходимо
отметить, что суммарные текущие значения
потенциальной и кинетической энергии
системы равны максимальным значениям
потенциальной энергии, имеющей место
при наибольших отклонениях груза, и
равны максимальным значениям кинетической
энергии, имеющей место при прохождении
среднего положения с наибольшей скоростью
движения
(2.29)
Следовательно, полная энергия рассматриваемой консервативной системы является величиной постоянной.
Задача 1.
Исходные данные:
P1=1,2 т m1=0,12т
P2=1,3т m2=0,13т
P3=1,4т m3=0,14т
c=400т/м
z0=500мм=0,5м
V0=80км/ч=22,22м/с
Решение:
Напишем уравнение Д’Аламбера:
Примем , разделим на m и домножим на с, получим:
Обозначим , а , получим
Пусть . Так как , тогда
Найдем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному. Обозначим , подставим в уравнение и сократим на :
где k - корни уравнения.
Получились корни частотного уравнения чисто мнимые. А коэффициент, стоящий при мнимой части корня, всегда является круговой частотой гармонических периодических колебаний, то есть
, Рад/с
где v - круговая частота колебаний. Тогда период колебаний равен
с
а линейная частота равна
,Герц
Так как имеют место гармонические колебания с частотой v, то будем искать решение дифференциального уравнения в виде
где А и В - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Продифференцируем уравнение два раза и подставим в уравнение:
0=0
Следовательно, принятое выражение является решением исходного дифференциального уравнения.
Положим, что в начальный момент груз был оттянут от положения равновесия на величину z0, и ему не была сообщена начальная скорость.
Тогда при , подставляя значения в соответствующие уравнения , получим А=z0, B=0.
Следовательно, при заданных начальных условиях, когда груз имеет только начальное отклонение, а скорость его в начальный момент равна нулю, решение уравнения имеет вид:
или с учетом силы тяжести:
Из уравнения следует, что собственные свободные колебания системы (см. График 1) происходят без затухания колебаний (консервативная система) с частотой и амплитудой колебаний соответственно равными ν и z0 . Колебания происходят относительно положения статического равновесия fст (кривая 1 на Графике 1).
График 1. Графики колебательного процесса консервативной системы: кривая 1- при начальных условиях z=zo и zI=0, кривая 2 - при начальных условиях z=z0 и zI=V0.
Изменим начальные условия задачи. Пусть в начальный момент груз был оттянут от положения равновесия на величину zo , но дополнительно ему была сообщена начальная скорость V0 . Тогда при t =0, z1=z0 и z1I=V0 из уравнений (2.17) и (2.18) получим , что А=z0 , а В=V0/ν. Следовательно, решение задачи имеет вид
Придадим другую форму уравнению.
Положим , а
Тогда ;
Подставим в уравнение, получим
Как видно из выражения колебания тела гармонические, величина - фаза колебаний, ε -сдвиг по фазе колебаний, амплитуды колебаний одинаковы и равны а, то есть весь характер движения зависит от начальных условий задачи, жесткости подвешивания и массы системы. Тело совершает одно полное колебание за промежуток времени Т (период колебаний), которое происходит при изменении аргумента в (2.25) на 2π. Тогда
и период колебаний равен
,
с
где P – сила тяжести (вес груза), g – ускорение силы тяжести, равное 9,8 м/с2, fст - статический прогиб рессорного подвешивания, при расчетах подставляется в метрах.
Круговая частота колебаний ν – это число полных колебаний за 2π секунд
, рад/с
Она полностью определяется массой груза и жесткостью пружины и не зависит от начальных условий задачи.
Линейная частота колебаний
, Герц
это число полных колебаний в одну секунду.
Тогда решение исходного уравнения будет иметь вид
Графики колебательного процесса, построенные в соответствии с этими уравнениями, представлены на графиках выше кривые 2.
Анализируя данные Графика 1 необходимо отметить, что суммарные текущие значения потенциальной и кинетической энергии системы равны максимальным значениям потенциальной энергии, имеющей место при наибольших отклонениях груза, и равны максимальным значениям кинетической энергии, имеющей место при прохождении среднего положения с наибольшей скоростью движения
Следовательно, полная энергия рассматриваемой консервативной системы является величиной постоянной.