5.2 Построение математических моделей колебаний для систем с тремя и более степенями свободы
Рассмотрим систему с тремя степенями свободы
5.4 Расчетная схема колеблющейся системы с тремя степенями свободы
Три тела связаны между собой упругими элементами и диссипативными приборами с целью гашения колебаний. . Возбуждение колебаний осуществляется за счет прохождения неровностей на пути. Построение математической модели колебаний производится с использованием принципа Д'Аламбера или уравнений Лагранжа 2 рода. Используя вышеприведенные приемы, построим математическую модель колебаний в соответствии с рис. 5.4.
Тогда математическая модель колебаний будет иметь вид
Построенная математическая модель колебаний (5.33) далее решается изложенными выше методами. При этом подробно анализируются силы сухого и вязкого трения, характеристики возмущающего воздействия на систему.
Система уравнений уже является более сложной и громоздкой, ее решение обычно производится либо с использованием ПЭВМ или для конкретной задачи вводятся упрощения. Необходимо помнить, что если удается провести аналитическое решение задачи, то оно является обычно более полным, наглядным и позволяет детальнее оценить влияние различных факторов на безопасность движения.
Рассмотрим систему с четырьмя степенями
свободы (рис. 5.5)
Рис.5.5 Расчетная схема вагона с четырьмя степенями свободы
Степени свободы:
-
подпрыгивание и галопирование кузова
вагона
-галопирование
первой и второй рам тележек.
Динамические прогибы в соответствии с расчетной схемой, при равных в тележках с, β и FTp, будут равны для первой-четвертой опор по ходу движения.
(5.34),
В соответствии с динамическими прогибами реакции в рессорных комплектах будут равны
(5.36)
Построим математическую модель колебаний для расчетной схемы. Она будет иметь вид
Математическая модель колебаний (5.36) после подстановки значений (5.35) (5.34) представляет собой систему связанных нелинейных дифференциальных уравнений и ее решение можно выполнять как с достаточной внимательностью аналитически, так и численными методами с использованием ПЭВМ.
В расчетных зависимостях неровности принимается с учетом сдвига по фазе.
где 2L,-база вагона; 2l-6аза тележки.
Анализ получаемых результатов решений, определение максимальных значений динамических сил, угрожающих безопасности движения, создающих опасные ситуации на железнодорожном транспорте, дает возможность достоверно оценить качество хода подвижного состава, прогнозировать возникновение условий, приводящих к авариям и крушениям.
Заключение
Чтобы описать движение (колебания) различных механических систем необходимо воспользоваться уравнениями аналитической механики в виде принципа Д'Аламбера или уравнениями Лагранжа 2-го рода. С этой целью в расчетных схемах необходимо отбросить связи, заменив их реакциями, приложить к каждому телу силу инерции или инерционный момент и записать уравнения равновесия рассматриваемых тел под действием внешних сил, инерционных сил и реакций связей. При этом необходимо четко использовать принятое правило знаков (обычно за положительное направление принимается деформация сжатия связей). Реакции связей обычно состоят из упругих и не упругих составляющих. Упругие составляющие представляют собой усилия, вызванные деформациями пружин, а неупругие - усилия в гасителях (демпферах). Пока реакции связей не определены, дифференциальные уравнения записываются в неявном виде, а при подстановке значений реакций связей дифференциальные уравнения колебаний системы представляются в явном виде.
При использовании уравнений Лагранжа 2-го рода для построения математических моделей колебаний необходимо помнить, что при действии внешней силы и определении потенциальной энергии учитывается энергия от сжатия пружины, а также работа внешних сил на заданном перемещении. Функция рассеивания представляет собой мощность, развиваемую силами неупругого сопротивления.
Процесс собственных колебаний системы, как правило, характеризуется начальными амплитудами, периодами или частотами колебаний и степенью затухания (декрементом) или нарастания (инкрементом) колебаний. При наличии демпферов сухого трения для оценки демпфирования используется φ - коэффициент относительного трения, а при наличии демпферов вязкого трения - величина h, называемая коэффициентом демпфирования.
В общем случае в соответствии с теорией решение линейных однородных дифференциальных уравнений обычно ищется в виде
Затем строятся характеристические уравнения и определяются их корни. Если корни уравнения комплексно сопряженные, например, при h<ν
,
где
h - действительная часть корня; ηi - мнимая часть корня, то всегда коэффициент, стоящий при мнимой части корня является круговой частотой гармонических колебаний. Решение дифференциального уравнения в этом случае имеет вид
Переходя от показательной формы комплексных функций к тригонометрической, имеем
что и было получено в рассмотренных выше примерах. Следовательно, при собственных колебаниях динамические параметры системы определяются в зависимости от упругих, диссипативных характеристик связей и массы колеблющегося тела.
При оценке вынужденных колебаний необходимо учитывать, что в этом случае оценивается решение неоднородного уравнения, колебания совершаются с частотой внешнего возмущения, амплитуда их зависит от соотношения частот собственных и вынужденных колебаний, а так же от величины самой амплитуды возмущающей функции. Отношение величины амплитуды колеблющейся системы к входной амплитуде внешнего возмущения называется амплитудно-частотной характеристикой системы или коэффициентом нарастания амплитуд колебаний. При совпадении частот собственных и вынужденных колебаний наступает состояние резонанса, и частота колебаний в этом случае называется критической частотой. Скорость движения экипажа, при которой происходит совпадение частот колебаний, называется критической (резонансной) скоростью движения. Необходимо рассматривать для неконсервативных систем установившиеся вынужденные колебания, когда происходит гашение и генерирование колебаний при движении по железнодорожному пути, имеющем неровности. При этом степень демпфирования колебаний определяется отношением принимаемого в расчетах коэффициента вязкого трения к его критическому значению.
Список используемой литературы
Хохлов А.А. Построение математических моделей взаимодействия подвижного состава и пути при оценке безопасности движения: Методические указания. – М.: МИИТ. 2007. – 127с.