3.2. Оценка безопасности движения при вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы и наличии гидравлических гасителей колебаний

Рассмотрим неоднородные дифференциальные уравнения (3.4), (3.8). Пусть возмущающая функция имеет вид, аналогичный (2.31). Тогда уравнение (3.4) будет иметь вид

(3.38)

Разделим на m и обозначив , получим

(3.39)

Уравнение (3.39) неоднородное, с правой частью. Его решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Решение однородного уравнения мы подробно рассмотрели выше. Здесь же рассмотрим решение неоднородного уравнения, то есть будем считать, что неровность η_t является достаточно длинной и при движении по ней собственные колебания успевают затухнуть, а имеют место только установившиеся вынужденные колебания. Найдем решение уравнения (3.39). Будем иметь решение уравнения (3.39) в виде

z=Acoscwt+Вsincwt (3.40)

Продифференцируем уравнение (3.40) два раза, получим

z=-Аwsincwt+Вwcoswt (3.41)

z=-Аw²coswt-Вw²sinwt

Подставим уравнения (3.40), (3.41) в (3.39), тогда получим

coswt(v²A-w²А+2hwB)=h₀v²coswt (3.42)

sinwt(v²B-w²В-2hwA)=-2hwh₀sinwt

Сократим в уравнениях (3.42) на , найдем

A(v²— w²)+2hwB=h₀v² (3.43)

-A2hw+В(v²—w²)=—2hwh₀

Определим из уравнений (3.43) значения А и В

(3.44)

Зная значения А и В (3.44) можно рассчитать все параметры колебательного процесса. Обозначим А через Msinε, а В через Mcosε, тогда из (3.40) получим

z=M(sinw cose+cosw sine)= Msin(wt+e) (3.45)

где

- сдвиг по фазе.

Тогда (3.46)

Определим зависимость для оценки динамической нагруженности подвижного состава. Реакция в связи (3.2), (3.3) определяется из выражения

(3.47)

Возмущающая функция и её производная соответственно имеют вид (2.31)

(3.48)

Подставим значения в уравнение(3.47), получим

или

(3.49)

Обозначим , а , тогда получим

, где

Максимальные уровни динамических сил воздействующих на подвижной состав и создающих опасные ситуации, угрожающие безопасности движения, равны

Анализируя выражение (3.51), можно установить неблагоприятные соотношения между потребной диссипацией энергии и реализуемой в эксплуатации, установить рациональные значения сил трения, при которых имеет место лучшая динамика подвижного состава, его высокая безопасность движения.

Необходимо отметить, что решения (3.45) для вычисления амплитуд колебаний, а также (3.50) для вычисления динамических сил, являются справедливыми, если силы трения всегда являются положительными, то есть направлены в сторону, противоположную направлению движения. Это возможно при выполнении следующих условий. При положительном направлении движения, например при ставится знак плюс, если выполняются условия

то есть имеют место затухающие колебания.

Если в этом случае , а направление движения продолжает оставаться положительным, то силы трения становятся отрицательными, то есть направленными в сторону движения, и они способствуют генерированию колебаний. И наоборот при отрицательном направлении движения , в уравнении (3.3) при ставится знак плюс при выполнении условий , то есть имеют место затухающие колебания. Если в этом случае , а направление движения продолжает оставаться отрицательным, то силы трения становятся отрицательными, направленными в сторону движения, и они способствую генерированию колебаний.

Если перед в уравнении (3.3) будет знак минус (отрицательное трение), то величина коэффициент В в уравнении (3.44) изменится: в числителе коэффициента В необходимо поставить знак минус. Коэффициент А не изменится. Если , то в (3.44) .

Возникновение отрицательного трения в системе должно быть проверено расчетами. При этом должна быть проведена связка граничных условий для каждого вида решения.

Задача 4

Рассмотрим неоднородные дифференциальные уравнения вида (3.4), (3.8) (см. пояснительную записку). Пусть возмущающая функция имеет вид, аналогичный задаче 2. Тогда уравнение будет иметь вид

Разделим на m и обозначив , получим

Это уравнение неоднородное, с правой частью. Его решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Рассмотрим решение неоднородного уравнения, то есть будем считать, что неровность η_t является достаточно длинной и при движении по ней собственные колебания успевают затухнуть, а имеют место только установившиеся вынужденные колебания. Найдем решение уравнения. Будем иметь решение этого уравнения в виде

z=Acosωt+Вsinωt

Продифференцируем уравнение два раза, получим

Подставим уравнения, в исходное, тогда получим

cosωt(v²A-ω²А+2hωB)=h₀v²cosωt

sinωt(v²B-ω²В-2hωA)=-2hωh₀sinωt

Сократим в уравнениях на , найдем

A(v²— ω²)+2hωB=h₀v²

-A2hω+В(v²—ω²)=—2hωh₀

Определим из уравнений значения А и В

Зная значения А и В можно рассчитать все параметры колебательного процесса. Обозначим А через Msinε, а В через Mcosε, тогда получим

z=M(sinω cosε+cosω sinε)= Msin(ωt+ε)

где

- сдвиг по фазе.

Тогда

Определим зависимость для оценки динамической нагруженности подвижного состава. Реакция в связи определяется из выражения

Возмущающая функция и её производная соответственно имеют вид

Подставим значения в уравнение реакции, получим

или

Обозначим , а , тогда получим

, где

Максимальные уровни динамических сил воздействующих на подвижной состав и создающих опасные ситуации, угрожающие безопасности движения, равны

Анализируя выражение, можно установить неблагоприятные соотношения между потребной диссипацией энергии и реализуемой в эксплуатации, установить рациональные значения сил трения, при которых имеет место лучшая динамика подвижного состава, его высокая безопасность движения.

Необходимо отметить, что решения для вычисления амплитуд колебаний, а также для вычисления динамических сил, являются справедливыми, если силы трения всегда являются положительными, то есть направлены в сторону, противоположную направлению движения. Это возможно при выполнении следующих условий. При положительном направлении движения, например при ставится знак плюс, если выполняются условия

то есть имеют место затухающие колебания.

Если в этом случае , а направление движения продолжает оставаться положительным, то силы трения становятся отрицательными, то есть направленными в сторону движения, и они способствуют генерированию колебаний. И, наоборот, при отрицательном направлении движения , в уравнении (3.3) (см. Пояснительную записку) при ставится знак плюс при выполнении условий , то есть имеют место затухающие колебания. Если в этом случае , а направление движения продолжает оставаться отрицательным, то силы трения становятся отрицательными, направленными в сторону движения, и они способствую генерированию колебаний.

Если перед в уравнении (3.3) будет знак минус (отрицательное трение), то величина коэффициент В в уравнении изменится: в числителе коэффициента В необходимо поставить знак минус. Коэффициент А не изменится.

Если , то .

Возникновение отрицательного трения в системе должно быть проверено расчетами. При этом должна быть проведена связка граничных условий для каждого вида решения.