3.Построение математических моделей и оценка безопасности движения системы при наличии гидравлических гасителей колебаний
Рассмотрим построение математических моделей для колебательной системы, представленной на рис. 3.1 и имеющей демпфирование колебаний с помощью гидравлического гасителя.
Рис 3.1 Расчетная схема колебательной системы при наличии гидравлических гасителей колебаний, реализующих силы вязкого трения
На рисунке 3.1 представлена система с одной степенью свободы, совершающая в направлении координаты z вынужденные колебания.
Возмущающие факторы
возникают от воздействия со стороны
пути сил, обусловленных наличием
неровностей на пути. При отсутствии
неровностей на пути будем рассматривать
собственные колебания системы с одной
степенью свободы и гасителем колебаний.
Как указывалось выше, силы тяжести
учитывать не будем, полагая, что 
колебания
происходят относительно положения
статического равновесия.
Построим математическую модель колебаний для схемы рис. 3.1, воспользовавшись принципом Д'Аламбера (1.3) и уравнениями Лагранжа II рода (1.9). Для системы, изображенной на рис.3.1. построим силовую схему, заменив связи реакциями связей.
Рис.3.2 Силовая схема
При отклонении тела в положительном направлении оси z в связи возникает реакция, направленная вверх. На рис.3.2 показаны: Рин – сила инерции;
R- реакция связи, зависящая от жесткости рессорного подвешивания, величины динамического прогиба, а так же от сил вязкого трения;
β - коэффициент вязкого трения, определяемый в зависимости от скорости протекания рабочего тела (жидкости, трансформаторного масла, разбавленного эластомера и т. д.) через калибровочное отверстие. Такие гасители колебаний в основном установлены на пассажирском подвижном составе.
Спроектировав все силы на ось z, получим
(3.1)
где
(3.2)
- величины
динамического прогиба рессорного
подвешивания и его скорости, определяемые
по выражениям
,;
Тогда уравнение (3.1) будет иметь вид
(3.3)
Подставляя значения (3.3) в (3.2), а затем в (3.1 I построим по ДАламберу математическую модель в виде
(3.4)
Теперь воспользуемся уравнениями Лагранжа II рода (1.9) для построения математической модели колебаний тела в соответствии с расчетной схемой рис. 3.2.
Кинетическая энергия тела равна
(3.5)
Потенциальная энергия системы определяется по выражению
(3.6)
Функция рассеивания энергии при наличии гидравлического гасителя колебаний будет равна
(3.7)
Подставляя значения (3.5) - (3.7) в уравнения (1.9), получим
Собирая все части в уравнении Лагранжа II рода, найдем
(3.8)
Уравнения (3.8) и (3.4), полученные различными способами, являются совершенно аналогичными.
3.1 Оценка собственных колебаний системы с одной степенью свободы и при наличии гидравлических гасителей колебаний
Вначале оценим
динамические характеристики при
собственных колебаниях системы, положив
в уравнениях (3.4) и (3.8)
и
,
то есть будем
рассматривать однородное уравнение
вида
(3.9)
Разделив уравнение (3.9) на массу, введем обозначения
Получим
(3.10)
Пусть общее решение этого уравнение имеет вид
(3.11)
где t-время;
А и k – постоянные величины.
Продифференцируем выражение (3.11) два раза, подставим их в уравнение (З.10) и сократив на Аекt≠0, получим характеристическое уравнение в виде
k2+2hk+v2=0
где k — корни характеристического уравнения
В общем случае корни уравнения могут быть различными, комплексными, в том числе и мнимыми, в зависимости от величины сил сопротивления, реализуемых в гасителях колебаний. Анализ корней характеристического уравнения позволяет не только дать полную характеристику протекаемому процессу колебаний, но и судить об устойчивости системы. Если действительная часть всех значений корней отрицательна, то система динамически устойчива, если хотя бы один корень имеет положительное значение, то система не устойчива. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид
(3.14)
где А и В - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Так как от величины сил сопротивления в гасителе колебаний могут иметь место различные виды движения, то рассмотрим подробнее решение уравнения (3.10).
Введем новую
переменную
или
.
(3.15)
Продифференцируем уравнение (3.15) два раза
(3.16)
Подставляя
(3.15) и (3.16) и сокращая на
получим
(3.17)
Анализируя уравнение (3.17) в зависимости от величины сил сопротивления, в гасителе колебаний могут иметь место три случая движения системы.
Рассмотрим
1 случай, когда силы сопротивления малы
и v2-h2>0.
Обозначим
получим
уравнение вида
(3.18)
которое
мы подробно исследовали в пункте 2.1. Так
как корни уравнения (3.13) в этом случае
будут, равны kl2
=-h±
ηi
и
имеют мнимую часть, то коэффициент
,
стоящий
при мнимой части корня является круговой
частотой гармонических колебании.
Тогда
рад/сек (3.19)
В этом
случае решение уравнения (3.18) имеет вид
(3.20)
а с учетом замены переменных
(3.21)
где А и В - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Уравнение (3.21) показывает, что имеют место гармонические колебания (выражение в скобках), умноженные на экспоненциальный множитель с отрицательным показателем экспоненты. Следовательно, колебания затухают и амплитуды колебаний уменьшаются во времени (рис. 3.3).
Рис. 3.3 График затухающих колебаний системы при гидравлических гасителях
Тогда период затухающих колебаний будет равен
(3.22)
Необходимо отметить, что в этом случае частота затухающих колебаний меньше, чем частота собственных свободных колебаний
(3.23)
Определим отношение отклонений колеблющегося тела от положения равновесия через период колебаний. Пусть z1 - отклонение груза от положения равновесия в момент времени t1
(3.24)
a z2 - отклонение груза в момент времени t2 =t1+Т
(3.25)
Так как выражения в квадратных скобках равны, то
(3.26)
Отношение отклонений тела от положения равновесия через период колебаний является величиной постоянной, то есть амплитуды колебаний при гидравлических гасителях затухают в геометрической прогрессии
;
(3.27)
где
— логарифмический
декремент колебаний, определяющий
быстроту затухания колебаний.
Оценим влияние сил сопротивления движению на частоту и быстроту затухания колебаний. Например, при силах сопротивления в гасителях колебаний, определяемых из соотношения h/v=0,1 получим
то есть при таком сопротивлении (достаточно большом) частота затухающих колебаний меньше частоты свободных колебаний всего на 0,5%. Поэтому, в практических расчетах можно принимать η=ν.
Так как
,
можно считать
,
поэтому
то есть амплитуда колебаний при сопротивлении за период существенно убывает, почти в два раза.
Сопротивление, реализуемое в гидравлических гасителях (пропорциональное скорости истечение жидкости), оказывает значительное влияние на убывание (затухание) амплитуд колебаний и не очень большое влияние - на частоту колебаний. Это очень важно для практических целей, исходя и условий безопасности движения подвижное состава, при создании конструкций учитывая, что частоты v и достаточно близки, в практике предварительных расчетов за частоту колебания конструкции принимают частоту ее собственных свободных колебаний.
Рассмотрим второй случай, когда v2-h2<0 и силы сопротивления, реализуемые гасителем колебаний, весьма существенны. Обозначим v2-h2 через w2 получим уравнение
х-w2х=0 (3.28)
В этом случае корни (3.13) уравнения не имеют мнимых частей, нет гармонических процессов. Решение уравнения (3.28) будет иметь вид
(3.29)
где chwt и shwt — соответственно гиперболические косинус и синус аргумента wt.
Уравнением (3.29) описывается апериодическое или лимитационное движение, колебания отсутствуют, отклонения груза от положения равновесия уменьшаются, асимптотически приближаясь к нулю (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Графики затухающих процессов системы при лимитационном движении
Этот случай движения является весьма неблагоприятным с позиций безопасности движения. Большие значения сил сопротивления (загустения смазки, изменения размеров калибровочного отверстия и др.) приводят к ликвидации колебательных процессов динамические силы существенно возрастают, что создает опасные ситуации на транспорте и угрожает безопасности движения.
Рассмотрим 3-й случай, когда v2-h2=0.
В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид
(3.30)
решением которого является выражение х=At+В или, переходя к z,
z=e-ht(At+B) (3.31)
Уравнение (3.31) описывает предельный случай апериодического движения, колебаний нет, так как нет корней с мнимой частью.
Рассмотренные три случая относятся к силам сопротивления, направленным в сторону, противоположную направлению движения. Если сила сопротивления гасителя колебаний направлена в туже сторону, что и направление движения, то говорят, что в таком случае в системе реализуется отрицательное трение. Дифференциальное уравнение тогда имеет вид
(3.32)
Решение уравнения (3.32) получим в виде
(3.33)
В данном случае показатель экспоненты положительный, происходит неограниченное нарастание колебаний в геометрической прогрессии (3.25).
Рис. 3.5. График нарастающих амплитуд в системе при отрицательных силах сопротивления в гасителе колебаний
Величину hT в данном случае называют логарифмическим инкрементом колебаний. Сила отрицательного трения представляют собой возмущающие силы, пропорциональные скорости истечения жидкости через калибровочный отверстия, и интенсивно генерирующие процесс колебаний.
Рассмотрим условия, исходя из которых устанавливают рациональные значения сил сопротивления движению, реализуемых в гидравлических гасителях колебаний. При малом сопротивлении движению имеет место колебательный процесс (1-й случай) и корни характеристического уравнения равны (3.13)
(3.34)
Критические
значения коэффициента вязкого трения
выбирают из условий реализации предельного
случая апериодического движения при
(3.35)
когда
при
и
система возвращается в положение
равновесия.
Тогда
(3.36)
Однако на практике необходимо, чтобы движение происходило в виде колебательного процесса, когда имеют место гармонические колебания, то есть в случае малого трения в системе. Тогда затухающие колебания будут мало отличаться от гармонических, частоты колебаний - от частот собственных колебаний системы при отсутствии демпфирующих устройств. Поэтому, для обеспечения безопасности движения конструкций, их прочностных качеств, значения применяемых в эксплуатации коэффициентов вязкого трения нормируются
(3.37)
При
реализации рекомендуемых значений
в эксплуатации
существенно
улучшаются
динамические характеристики подвижного
состава, плавность
хода,
отсутствуют
причины
возникновения опасных ситуаций и
повышается безопасность движения
поездов.
Задача 3
Оценим динамические характеристики при собственных колебаниях системы, положив и , β=7тс/м, то есть будем рассматривать однородное уравнение вида
Разделив уравнение на массу, введем обозначения
Получим
Пусть общее решение этого уравнение имеет вид
где t-время;
А и k – постоянные величины.
Продифференцируем выражение два раза, подставим в уравнение и, сократив на Аекt≠0, получим характеристическое уравнение в виде
k2+2hk+v2=0
где k — корни характеристического уравнения
В первом случае:
Во втором случае:
В третьем случае:
Анализ корней характеристического уравнения позволяет не только дать полную характеристику протекаемому процессу колебаний, но и судить об устойчивости системы. Если действительная часть всех значений корней отрицательна, то система динамически устойчива, если хотя бы один корень имеет положительное значение, то система не устойчива. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид
где А и В - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Так как от величины сил сопротивления в гасителе колебаний могут иметь место различные виды движения, то рассмотрим подробнее решение уравнения.
Введем новую переменную или . Продифференцируем уравнение два раза
Подставляя и сокращая на получим
Анализируя уравнение в зависимости от величины сил сопротивления, в гасителе колебаний могут иметь место три случая движения системы.
Рассмотрим 1 случай, когда силы сопротивления малы и v2-h2>0. Обозначим получим уравнение вида
которое мы подробно исследовали в задаче 1. Так как корни k уравнения в этом случае будут, равны k1,2 =-h± ηi и имеют мнимую часть, то коэффициент , стоящий при мнимой части корня является круговой частотой гармонических колебании.
Тогда рад/сек
В этом случае решение уравнения имеет вид
а с учетом замены переменных
где А и В - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Пусть А=z0; B=0.
Имеют место гармонические колебания (выражение в скобках), умноженные на экспоненциальный множитель с отрицательным показателем экспоненты. Следовательно, колебания затухают и амплитуды колебаний уменьшаются во времени (График 3.1).
Графики3.1. Графики затухающих колебаний системы при гидравлических гасителях
Тогда период затухающих колебаний будет равен
Необходимо отметить, что в этом случае частота затухающих колебаний меньше, чем частота собственных свободных колебаний
Определим отношение отклонений колеблющегося тела от положения равновесия через период колебаний. Пусть z1 - отклонение груза от положения равновесия в момент времени t1
a z2 - отклонение груза в момент времени t2 =t1+Т
Так как выражения в квадратных скобках равны, то
Отношение отклонений тела от положения равновесия через период колебаний является величиной постоянной, то есть амплитуды колебаний при гидравлических гасителях затухают в геометрической прогрессии
;
где — логарифмический декремент колебаний, определяющий быстроту затухания колебаний.
При m1
,
т.е.
.
При m2
При m3
Т.о. амплитуда колебаний при сопротивлении за период существенно уменьшается.
Рассмотрим второй случай, когда v2-h2<0 и силы сопротивления, реализуемые гасителем колебаний, весьма существенны. Обозначим v2-h2 через ω2 получим уравнение
В этом случае корни уравнения не имеют мнимых частей, нет гармонических процессов. Решение уравнения будет иметь вид
где chwt и shwt — соответственно гиперболические косинус и синус аргумента wt.
Уравнением описывается апериодическое или лимитационное движение, колебания отсутствуют, отклонения груза от положения равновесия уменьшаются, асимптотически приближаясь к нулю (График 3.2).
График 3.2. Графики затухающих процессов системы при лимитационном движении
Большие значения сил сопротивления (загустения смазки, изменения размеров калибровочного отверстия и др.) приводят к ликвидации колебательных процессов динамические силы существенно возрастают, что создает опасные ситуации на транспорте и угрожает безопасности движения.
Рассмотрим 3-й случай, когда v2-h2=0.
В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид
решением которого является выражение х=At+В или, переходя к z,
z=e-ht(At+B)
Уравнение описывает предельный случай апериодического движения, колебаний нет, так как нет корней с мнимой частью.
Рассмотренные три случая относятся к силам сопротивления, направленным в сторону, противоположную направлению движения. Если сила сопротивления гасителя колебаний направлена в туже сторону, что и направление движения, то говорят, что в таком случае в системе реализуется отрицательное трение. Дифференциальное уравнение тогда имеет вид
Решение уравнения получим в виде
В данном случае показатель экспоненты положительный, происходит неограниченное нарастание колебаний в геометрической прогрессии (График 3.3).
График 3.3. Графики нарастающих амплитуд в системе при отрицательных силах сопротивления в гасителе колебаний
Рассмотрим условия, исходя из которых устанавливают рациональные значения сил сопротивления движению, реализуемых в гидравлических гасителях колебаний. При малом сопротивлении движению имеет место колебательный процесс (1-й случай) и корни характеристического уравнения равны (расчет приведен выше).
Критические значения коэффициента вязкого трения выбирают из условий реализации предельного случая апериодического движения при
когда при и система возвращается в положение равновесия.
Тогда
Однако на практике необходимо, чтобы движение происходило в виде колебательного процесса, когда имеют место гармонические колебания, то есть в случае малого трения в системе. Тогда затухающие колебания будут мало отличаться от гармонических, частоты колебаний - от частот собственных колебаний системы при отсутствии демпфирующих устройств. Поэтому, для обеспечения безопасности движения конструкций, их прочностных качеств, значения применяемых в эксплуатации коэффициентов вязкого трения нормируются
При реализации рекомендуемых значений в эксплуатации существенно улучшаются динамические характеристики подвижного состава, плавность хода, отсутствуют причины возникновения опасных ситуаций и повышается безопасность движения поездов.