2.2. Оценка безопасности движения при вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы без демпфирования
Рассмотрим вынужденные колебания системы.
Так как учет силы тяжести при анализе динамической нагруженности подвижного состава в вертикальной плоскости приводит к тому, что колебания происходят относительно положения статического равновесия (ось колебательного процесса смещается в положение оси статического равновесия), то в дальнейшем силы тяжести в уравнениях учитывать не будем.
В соответствии с уравнением (2.2) или (2.6) рассмотрим математическую модель вынужденных колебаний в виде
(2.30)
Пусть возмущающая функция имеет вид
(2.31)
где: h0
- амплитуда неровности, в м;
рад/с - частота возмущающей функции, в
общем случае равна
,
но при V=const,
х
= Vt;
V
-
скорость
движения подвижного состава, в м/с;
Lн
—
длина
волны неровности (возмущающей функции),
в м.
Тогда для вынужденных колебаний получим уравнение вида
(2.32)
Разделив на m и обозначив c/m=ν2, найдем
(2.33)
Уравнение (2.33) неоднородное, с правой частью. Его решение состоит из общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения мы выполнили выше для оценки динамической нагруженное подвижного состава при собственных колебаниях.
Будем считать, что неровность ηt является достаточно длинной, и при движении по ней собственные колебания успевают затухнуть, а имеют место только установившиеся вынужденные колебания системы. Найдем решение уравнения (2.33) для оценки установившихся вынужденных колебаний.
Будем искать решение уравнения (2.33) в виде
(2.34)
Продифференцируем уравнение (2.34) два раза
И подставив в выражение (1.33), получим
(2.35)
Приведя подобные члены, получим
Откуда
найдем, сократив на
,
B=0,
(2.36)
Тогда частное решение уравнения (1.33) для вынужденных колебаний будет иметь вид
(2.37)
Если учитывать в расчетной схеме силу тяжести (вес груза), то получим частное решение в виде
(2.38)
Обозначим
амплитудно-частотная характеристика.
(2.39)
АЧХ (коэффициент динамичности, нарастания амплитуд колебаний) системы, показывает изменение амплитуды колебаний на выходе системы z в зависимости от амплитуды колебания на входе – h0. АЧХ определяется конструктивными характеристиками системы, а так же скоростью движения и длиной волны неровности.
Определим уровень динамических сил действующих на систему при вынужденных колебаниях, по уравнению
(2.40)
Подставив значения, получим
(2.41)
Окончательно для определения уровня динамических сил, приводящих к возникновению опасных ситуаций и снижению безопасности движения, найдем уравнение
(2.42)
АЧХ (коэффициент динамичности) для определения уровня динамических сил равна
Уровень динамических сил (1.42) приводит к возникновению опасных ситуаций по безопасности движения при совпадении частоты собственных колебаний и частоты возмущающей функции.
При ν=ω наступает, при отсутствии демпфирующих средств, резонанс. Тогда опасные ситуации будут возникать при критических резонансу скоростях движения, равных
(2.43)
,
м/с
График максимальных значений динамических сил при вынужденных колебаниях системы представлен на рисунке 2.4.
Рис.2.4 График максимальных значений динамических сил при вынужденных колебаниях осциллятора и отсутствии демпфирующих устройств
Периоды для вынужденных колебаний равны
(2.44)
Для обеспечения безопасности движения ходовые части грузового и пассажирского подвижного состава имеют специальные устройства гасители колебаний, обеспечивающие демпфирование динамических процессов при различных скоростях движения, существенно повышая безопасность движения поездов.
Задача 2
Рассмотрим математическую модель вынужденных колебаний в виде
Пусть возмущающая функция имеет вид
где: h0 - амплитуда неровности, в м; примем h0=0,003м рад/с - частота возмущающей функции, в общем случае равна , но при V=const, х = Vt; V - скорость движения подвижного состава, в м/с; Lн — длина волны неровности (возмущающей функции), в м.
При скорости V=22,22м/с:
Тогда для вынужденных колебаний получим уравнение вида
Разделив на m и обозначив c/m=ν2, найдем
Уравнение неоднородное, с правой частью. Его решение состоит из общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения.
Будем считать, что неровность ηt является достаточно длинной, и при движении по ней собственные колебания успевают затухнуть, а имеют место только установившиеся вынужденные колебания системы. Найдем решение уравнения для оценки установившихся вынужденных колебаний.
Продифференцируем уравнение два раза и подставим в исходное уравнение
Приведя подобные члены, получим
Откуда
найдем, сократив на
,
B=0,
Тогда частное решение исходного уравнения для вынужденных колебаний будет иметь вид
Если учитывать в расчетной схеме силу тяжести (вес груза), то получим частное решение в виде
Обозначим амплитудно-частотная характеристика.
АЧХ (коэффициент динамичности, нарастания амплитуд колебаний) системы, показывает изменение амплитуды колебаний на выходе системы z в зависимости от амплитуды колебания на входе – h0. АЧХ определяется конструктивными характеристиками системы, а так же скоростью движения и длиной волны неровности.
Определим уровень динамических сил действующих на систему при вынужденных колебаниях, по уравнению
Подставив значения, получим
Окончательно для определения уровня динамических сил, приводящих к возникновению опасных ситуаций и снижению безопасности движения, найдем уравнение
Максимальное
значение динамических сил мы получим
при
АЧХ (коэффициент динамичности) для определения уровня динамических сил равна
Уровень динамических сил приводит к возникновению опасных ситуаций по безопасности движения при совпадении частоты собственных колебаний и частоты возмущающей функции.
При ν=ω наступает, при отсутствии демпфирующих средств, резонанс. Тогда опасные ситуации будут возникать при критических резонансу скоростях движения, равных
, м/с
График максимальных значений динамических сил при вынужденных колебаниях системы представлен на Графике 2.
График 2. Графики максимальных значений динамических сил при вынужденных колебаниях осциллятора и отсутствии демпфирующих устройств
Периоды для вынужденных колебаний равны
,с
Для обеспечения безопасности движения ходовые части грузового и пассажирского подвижного состава имеют специальные устройства гасители колебаний, обеспечивающие демпфирование динамических процессов при различных скоростях движения, существенно повышая безопасность движения поездов.