Уравнения Лагранжа в обобщённых координатах (уравнения Лагранжа II рода)

Распространяя вариационный принцип на движение тел в обобщённых координатах и с учётом независимости вариаций получим уравнение Лагранжа II рода в виде

(1.4)

где К - кинетическая энергия рассматриваемой системы;

q^I_i, q_i - обобщённые координаты и их скорости;

Q_i - обобщённая сила, действующая в направлении координаты q_i;

i=1,2,3,...,n - количество обобщённых координат.

Кинетическая энергия для тела определяется по теореме Кёнига и равна

(1.5)

Для суммы тел, соединённых различными связями, кинетическая энергия определяется суммой кинетических энергий этих тел, вычисленных по уравнению (1.5). В уравнении (1.5) первая часть определяет кинетическую энергию тела при поступательном движении, а вторая - при вращательном. При общем количестве обобщённых координат, равном n, количестве угловых координат k, число линейных координат будет равно n-k.

Как видно из уравнения (1.5) кинетическая энергия не зависит от обобщённых координат, а зависит от скорости обобщённых координат, тогда в уравнении (1.4)

Рассмотрим в этом случае уравнение Лагранжа (1.4), которое будет иметь вид

(1.6)

При наложении на систему связей значения Q_i в уравнении (1.6) определяются реакциями в связях. Если связи имеют упругую и неупругую составляющие сил сопротивления движению, то обобщённые силы равны

(1.7)

где: П - потенциальная энергия системы; Ф - функция рассеивания, равна мощности, развиваемой силами неупругого сопротивления.

Потенциальная энергия для тела определяется по теореме Клапейрона, а для системы, состоящей из нескольких тел, суммой потенциальных энергий этих тел

(1.8)

где: c_i - жёсткость i-го рессорного подвешивания; Δ_i - динамический прогиб i-го рессорного подвешивания.

С учетом выражения (1.7) уравнение Лагранжа второго ряда примет вид

(1.9)

Уравнение (1.9) с учетом функции рассеивания применяется при построении математических моделей неконсервативных систем, а при отсутствии рассеивания энергии – для консервативных систем.

Теоретической основой при построении математических моделей движения механических систем в декартовых или обобщенных координатах служит принцип Д'Аламбера в форме уравнений (1.3), либо уравнения Лагранжа второго рода в виде (1.9). Эти уравнения являются основными для определения динамической нагруженности подвижного состава, оценки критических условий движения, безопасности движения и возникновения опасных ситуаций.

2. Построение математических моделей и оценка безопасности движения простых систем без диссипации энергии

При практической оценке безопасности движения, критических скоростей обычно рассматриваются не сложные пространственные расчетные схемы (что выполняется при уточненных научных исследованиях), а более простые плоские расчетные схемы, иногда выделяя изучение процесса вообще в направлении только одной координаты.

Рассмотрим построение математических моделей для колебательных систем, представленных на рис.2.1.

Рис.2.1 Расчетная схема колебательной системы без демпфирования

На рис. 2.1 представлена система с одной степью слободы (осциллятор), совершающая вынужденные колебания в направлении координаты z. Возмущающие факторы возникают от воздействия со стороны пути сил, обусловленных наличием неровностей η. При отсутствии неровностей на пути тело на представленной расчетной схеме будет совершать собственные колебания при наличии первоначальных отклонений.

Построим математическую модель колебаний для схемы рис. 1.1, воспользовавшись принципом Д'Аламбера и уравнениями Лагранжа 2-го рода.

Построим силовую схему для системы, изображенной на рис 1.1, заменив связи реакциями связей R. При деформации тела в положительном направлении z в связи возникает реакция, направленная вверх.

На схеме обозначено с - жесткость рессорного комплекта; Р - сила тяжести (вес) груза.

Рис 2.2 Силовая схема

Воспользуемся принципом Д'Аламбера. Силы инерции направлены в сторону движения и принимаются с обратным знаком , сила реакции в связи , где Δ- величина динамического прогиба рессорного подвешивания, равная при наличии неровностей на пути .

Здесь принимается знак минус, так как амплитуда неровности принимается положительной также вниз.

Составим для рис.2.2 уравнение, спроектировав все силы на ось Z,тогда получим

(2.1)

Подставляя значения величин, получим математическую модель вынужденных колебаний осциллятора в виде

(2.2)

Теперь воспользуемся уравнениями Лагранжа 2-го рода для построения математической модели тела в соответствии с расчетной схемой рис 1.2.

Кинетическая энергия тела согласно теореме Кенига равна

(2.3)

Потенциальная энергия тела согласно теореме Клапейрона равна

(2.4)

Для вертикальных колебаний, когда колебательные процессы происходят относительно положения статического равновесия и работа сил тяжести на перемещении, равном отклонению колебательного процесса на величину статического прогиба совершена, выражение потенциальной энергии должно учитывать работу сил тяжести.

Функция рассеивания вследствие отсутствия неупругой составляющей сил сопротивления движению равна нулю. Тогда

(2.5)

Окончательно получим

(2.6)

Уравнение (2.6), полученное на основе уравнений Лагранжа 2-го рода, совершенно аналогично уравнению (2.2), полученному на основе принципа Д'Аламбера.