1.4.2.8. Число е

Рассмотрим пример последовательности, для исследования сходимости которой будет использована вышеуказанная теорема (п. 2.7.) о пределе монотонной последовательности.

Пусть дана последовательность , т.е. каждый элемент этой последовательности . Покажем, что эта последовательность возрастает и ограничена сверху.

Используя формулу бинома Ньютона

получим

или

или

. (1)

Аналогично этому

Очевидно, что 1) для любого ;

2) все члены последовательности строго положительны;

3) x_n+1 по сравнению с х_n содержит лишний положительный член.

Поэтому х_n<x_n+1 и - возрастающая последовательность. Покажем теперь ограниченность сверху этой последовательности.

Используем неравенство

. (2)

Действительно,

Учитывая, что каждое выражение в круглых скобках формулы (1) строго меньше 1, и заменяя его поэтому единицей, получим, что

Суммируя n-1 член убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , получим

Итак, последовательность возрастает и ограничена сверху.

По доказанной теореме (п. 2.7.) эта последовательность имеет предел, который называют числом е.

По определению .

1.4.2.9. Предельный переход в неравенствах

Покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема 1. Если элементы сходящейся последовательности начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству ( ), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству ( )

.

Замечание. Если элементы сходящейся последовательности удовлетворяют строгому неравенству x_n>b, то предел а этой последовательности может все же оказаться равным b.

Так, члены последовательности строго положительны , а предел этой последовательности равен нулю.

Следствие 1.

.

Если элементы x_n и y_n сходящихся последовательностей и начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству ( ), то их пределы удовлетворяют такому же неравенству .

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности начиная с некоторого номера находятся на сегменте [a,b], то и ее предел С также находится на этом сегменте.

.

Теорема 2. Пусть последовательности и cходятся и имеют общий предел а. Пусть начиная с некоторого номера элементы последовательности удовлетворяют неравенствам . Тогда последовательность сходится и имеет предел а.

1.4.2.10. Подпоследовательности числовых последовательностей

Пусть x₁, x₂,.., x_k,... некоторая числовая последовательность.

Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел n₁, n₂,.., n_k,... и выберем из последовательности элементы с номерами n₁, n₂,.., n_k,... . Расположим эти элементы в таком же порядке, как и числа . Полученную таким образом числовую последовательность будем называть подпоследовательностью последовательности . В частности, сама последовательность может рассматриваться как подпоследовательность (в этом случае n_k = k).

Замечание. Очевидно, что для любого номера k справедливо неравенство . Это видно из следующего примера:

Если k = 5, то n_k = 15 и .

Свойство 1. Если последовательность сходится и имеет своим пределом число а, то и любая подпоследовательность этой последовательности сходится и имеет пределом число а

.

Свойство 2. Если все подпоследовательности данной последовательности сходятся, то пределы всех этих подпоследовательностей равны одному и тому же числу а; в частности, к этому же числу сходится и последовательность

.

Свойство 3. Каждая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также будет бесконечно большой

Лемма 1. Из каждой сходящейся последовательности можно выделить монотонную сходящуюся последовательность.

Замечание. Из каждой бесконечно большой последовательности можно выделить монотонную бесконечно большую последовательность.