1.4.1.4. Некоторые конкретные множества вещественных чисел

Пусть имеется произвольное множество вещественных чисел x, будем говорить, что точка x₁ множестваx отлична от точки x₂ этого множества, если вещественные числа x₁ и x₂ не равны друг другу. Если при этом справедливо неравенство x₁>x₂ (x₁<x₂), то будем говорить, что точка x₁ лежит правее (левее) точки x₂.

1. Сегмент (замкнутый отрезок или отрезок)- символическая запись a,b.

.

Числа a и b называются граничными точками или концами сегмента, а любое число x, удовлетворяющее неравенствам a < x < b, будем называть внутренней точкой сегмента.

2. Полусегмент. Символическая запись: a, b или a, b .

.

3.Интервал. Символическая запись (a, b).

4. Окрестностью точки С называется любой интервал, содержащий точку С.

.

5.  - окрестностью точки С называется интервал (с-, с+), где >0.

6. Числовая (бесконечная) прямая- символическая запись (- , + )

.

7. Полупрямая -а,+  или - , b

.

8. Открытая полупрямая - (а, +) или (- , b).

.

1.4.2. Теория последовательностей

1.4.2.1. Понятие числовой последовательности

Определение 1. Пусть каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,...,n поставлено в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n (при этом может оказаться, что разным натуральным числам n ставятся в соответствие и одинаковые числа). Тогда множество занумерованных вещественных чисел

x₁, x₂, . . ., x_n, . . . (1)

называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Каждое отдельное число x_n называется элементом или членом последовательности.

Сокращенно последовательность с элементами x_n будем обозначать x_n .

Арифметические операции над числовыми последовательностями вводятся следующим образом.

Пусть даны две произвольные последовательности x_n и y_n.

Суммой, разностью, произведением и частным этих последовательностей называются соответственно последовательности:

x_n+y_n, x_n-y_n, x_n y_n, x_n / y_n.

При определении частного предполагается, что либо все y_n от 0, либо все y_n отличны от нуля начиная с некоторого номера. Тогда частное x_n / y_n определяется с этого номера.

1.4.2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение 1. Последовательность x_n называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое вещественное число M (число m), что все элементы последовательности x_n удовлетворяют неравенству

x_n  М (x_n  m)

Число M(m) называется верхней (нижней) гранью последовательности x_n.

Замечание 1. Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность x_n имеет бесчисленное множество верхних (нижних) граней.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной (x_nm), если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют такие вещественные числа M и m, что для каждого элемента последовательности x_n выполняются неравенства m  x_n  M

Замечание 2. Пусть x_nm, и M и m- ее верхняя и нижняя грани, тогда, обозначая , имеем  x_n   A для всех элементов последовательности

 x_n . Наоборот, если для всех элементов последовательности  x_n  выполнено неравенство  x_n   A, то справедливы неравенства

-А  x_n  А. Таким образом, определение ограниченной последовательности можно сформулировать следующим образом:

Определение 3. Последовательность  x_n  называется неограниченной (x_nm), если для любого положительного числа А найдется элемент x_n последовательности x_n, удовлетворяющий неравенству  x_n >А.

Примеры.

1. Последовательность n³=1, 8, 27, . . . ограничена снизу (нижняя грань- любое действительное число m  1) и неограничена сверху.

2.1, -n=1, -1, 1, -2, 1, -3, . . . ,1, -n, . . . ограничена сверху и не ограничена снизу, т.е. неограничена, т.к. для любого положительного действительного числа А, среди элементов последовательности с четными номерами найдутся такие, для которых выполняется неравенство

 x_n >А.

Определение 4. Последовательность  x_n  называется бесконечно большой последовательностью (x_nБ), если для любого положительного числа А (сколь бы большим оно не было) можно указать такой номер n₀ (в силу зависимости n₀ от А иногда пишут n₀= n₀ (А)), что при n  n₀ все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству  x_n >А

В заштрихованной на рис. области содержится лишь конечное число членов последовательности x_n.

Замечание 3.

Если (x_nБ)( x_nm). Действительно,

Следовательно, найдется по крайней мере один такой элемент x_n , что

 x_n >А. Обратное, вообще говоря, неверно. Неограниченная последовательность 1, - n не является бесконечно большой, т.к. при А>1 для всех элементов x_n с нечетными номерами неравенство  x_n >А не имеет места.

Определение 5. Последовательность x_n называется бесконечно малой последовательностью (x_n), если для любого положительного числа  (сколь бы малым мы его ни взяли) можно указать номер n₀ такой, что при n  n₀ все элементы x_n этой последовательности удовлетворяли неравенству  x_n < 

.

Так как номер n₀ , вообще говоря, зависит от , то часто пишут n₀=n₀()

В незаштрихованной на рисунке области останется лишь конечное число элементов последовательности x_n.