- •1.4. Введение в математический анализ Для замечаний
- •Кванторы.
- •Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- •Операции над множествами Объединение ав множеств а и в
- •Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств
- •Прямое произведение двух множеств
- •1.4.1.2.Вещественные числа и их изображение на числовой оси Основные свойства рациональных чисел
- •Измерение отрезков числовой оси
- •1.4.1.3. Ограниченные множества вещественных чисел
- •1.4.1.4. Некоторые конкретные множества вещественных чисел
- •1.4.2. Теория последовательностей
- •1.4.2.1. Понятие числовой последовательности
- •1.4.2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •1.4.2.3. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях
- •1.4.2.4. Сходящиеся последовательности. Основные определения
- •1.4.2.5. Основные свойства сходящихся последовательностей
- •1.4.2.6. Арифметические свойства сходящихся последовательностей
- •1.4.2.7. Монотонные последовательности
- •1.4.2.8. Число е
- •1.4.2.9. Предельный переход в неравенствах
- •1.4.2.10. Подпоследовательности числовых последовательностей
- •1.4.2.11. Предельные точки последовательности
- •1.4.3. Понятие функции. Предел функции. Непрерывность
- •1.4.3.1. Определение функции
- •1.4.3.2. Способы задания функций
- •1.4.3.3. Монотонные функции
- •1.4.3.4. Сложная функция
- •1.4.3.5. Обратная функция
- •1.4.3.6. Допустимые области определения функций
- •1.4.3.7. Определение предела функции в точке
- •1.4.3.8. Односторонние пределы
- •1.4.3.9. Пределы на бесконечности
- •1.4.3.10. Арифметические операции над функциями, имеющими предел
- •1.4.3.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.4.3.12. Предельный переход в функциональных неравенствах
- •1.4.3.13. Определение непрерывности функции в точке и на множестве
- •1.4.3.14. Арифметические действия над непрерывными функциями
- •1.4.3.15. Сложная функция и ее непрерывность
- •1.4.3.16. Замечательные пределы Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •1.4.3.17. Точки разрыва функций
- •Разрыв первого рода
- •Разрыв второго рода
- •1.4.3.18. Свойства непрерывных функций Устойчивость знака непрерывной в точке функции
1.4.2.5. Основные свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена
Замечание. Обратная теорема не имеет места, ибо ограниченная последовательность, вообще говоря, может и не быть сходящейся. Так, например, xn=1+(-1)n=0, 2, 0, 2, 0, 2, . . . ограничена, но не является сходящейся. Действительно, если бы xnс и , то xn -a и xn +1 - а, тогда и (xn -a)- (xn +1 - а) (теорема 1,2,3).
Но (xn -a)- (xn +1 - а)=xn - xn +1 не является бесконечно малой, т.к.
xn - xn +1 = 2 для nN.
1.4.2.6. Арифметические свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1. Если последовательности xn и yn сходятся, то сумма (разность), произведение и частное этих последовательностей (частное при условии, что предел последовательности yn0) есть сходящиеся последовательности, пределы которых соответственно равны: сумме (разности), произведению и частному пределов этих последовательностей
1.4.2.7. Монотонные последовательности
Определение 1. Последовательность xn называется невозрастающей (неубывающей) последовательностью, если каждый последующий член этой последовательности не больше (не меньше) предыдущего, т.е. если для nN справедливо неравенство xn xn +1 (xn xn +1). Такие последовательности называются монотонными последовательностями.
Определение 2. Если для всех номеров n элементы последовательности xn удовлетворяют неравенству xn > xn +1 (xn < xn +1), то такая последовательность называется убывающей (возрастающей). Убывающие и возрастающие последовательности называются строго монотонными.
Замечание. Отметим, что неубывающие и невозрастающие последовательности ограничены сверху и снизу соответственно своими первыми элементами. Поэтому неубывающая (невозрастающая) последовательность будет ограничена с двух сторон, если она ограничена сверху (снизу).
Введем следующие обозначения:
xn - невозрастающая последовательность xn,
xn - неубывающая последовательность xn,
xn - возрастающая последовательностьxn,
xn - убывающая последовательность xn.
Пример 1. Последовательность n,n=1,1,2,2, . . .n,n, . . . неубывающая монотонная. Снизу она ограничена первым элементом - “1”, а сверху не ограничена.
Пример 2. Последовательность возрастающая. Снизу эта последовательность ограничена своим первым элементом , а сверху , например, своим пределом- единицей, т.е. эта последовательность ограничена.
Теперь сформулируем основную теорему о сходимости монотонной последовательности.
Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
[ ({xn } )( xn)]{xn } c,
[ ({xn } )( xn)]{xn } c.
В силу замечания, сформулированного выше, неубывающие (невозрастающие), ограниченные сверху (снизу) последовательности являются ограниченными с обеих сторон. Поэтому последнюю теорему можно сформулировать так:
.
Замечание 1. Условие ограниченности монотонной последовательности есть необходимое и достаточное условие ее сходимости.
В самом деле, если монотонная последовательность ограничена, то в силу сформулированной теоремы она сходится.
Если же монотонная последовательность (да и, вообще, любая последовательность) сходится, то она ограничена (см. теорему 2).
Замечание 2. Если последовательность сходится, то она может и не быть монотонной. Так, последовательность сходится и имеет пределом “0”. Однако эта последовательность не является монотонной, т.к. знаки элементов этой последовательности чередуются.