Измерение отрезков числовой оси

Пусть имеется числовая ось, т.е. прямая, на которой выбраны определенная точка О- начало отсчета, масштабный отрезок ОЕ, длина которого считается равной единице, и положительное направление (обычно направление слева-направо)

Попытаемся поставить в соответствие каждой точке М числовой оси некоторое число, выражающее длину отрезка ОМ. Это число считается положительным, если точка М лежит справа от точки О и отрицательным - в противоположном случае.

Очевидно, что каждому рациональному числу соответствует на числовой оси определенная точка.

В самом деле, из курса элементарной математики известно, как построить отрезок, длина которого составляет часть длины масштабного отрезка ОЕ (nN). Тогда легко построить отрезок АВ, длина которого относится к длине масштабного отрезка ОЕ, как

Отложив отрезок АВ вправо (влево) от точки О, получим точку М₁(М₂) ,соответствующую рациональному числу

Однако, из курса элементарной математики известно, что наряду с соизмеримыми отрезками (отрезками, отношение длин которых выражается рациональным числом) существуют и несоизмеримые отрезки (примером несоизмеримых отрезков могут служить сторона и высота равностороннего треугольника). Это позволяет утверждать, что не все точки числовой оси соответствуют рациональным числам.

Естественно, возникает потребность расширить область рациональных чисел и ввести в рассмотрение такие числа, которые соответствовали бы всем точкам числовой оси и позволяли бы при помощи масштабного отрезка ОЕ измерить любой отрезок. Опишем процесс, позволяющий измерить любой отрезок ОМ числовой оси. Будет показано, что этот процесс позволяет также поставить в соответствие любой точке М этой оси некоторую вполне определеную бесконечную десятичную дробь.

Пусть М - любая точка числовой оси. Для определенности предположим, что т.М лежит правее О (см. рис.)

Будем измерять отрезок ОМ при помощи масштабного отрезка ОЕ.

Выясним, сколько раз целый отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ. Могут представиться два случая.

1). Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число ₀ раз с некоторым остатком NM, меньшим ОЕ (см.рис.). В этом случае целое число ₀ есть приближенный результат измерения по недостатку с точностью до единицы.

2). Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число ₀ +1 раз без остатка. В этом случае ₀ также представляет собой приближенный результат измерения по недостатку с точностью до единицы, ибо отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ ₀ раз с остатком NM, равным ОЕ (на практике в этом случае процесс измерения считают законченным и полагают длину отрезка ОМ равной ₀ +1).

Выясним теперь, сколько раз часть масштабного отрезка ОЕ укладывается в остатке NM. Опять могут представиться два случая.

1). часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке NM целое число ₁ раз с некоторым остатком РМ, меньшим части отрезка ОЕ (см. рис.). В этом случае рациональное число ₀, ₁ есть результат измерения по недостатку с точностью до .

2). часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке NM целое число ₁ раз без остатка. В этом случае рациональное число ₀, ₁ также есть результат измерения по недостатку с точностью до , т.к. часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке NM ₁ раз с остатком РМ, равным части отрезка ОЕ.

Продолжая неограниченно указанные рассуждения, мы получим бесконечную совокупность рациональных чисел

₀ ; ₀, ₁ ; ...; ₀, ₁ ₂... _n; ..., (1)

каждое из которых представляет собой результат измерения отрезка ОМ по недостатку с соответствующей степенью точности. Вместе с тем каждое из чисел (1) может быть получено посредством обрывания на соответствующем знаке бесконечной десятичной дроби.

₀ , ₁ ₂ ₃ ..._n ... (2)

Если точка М лежит левее точки О, то , применяя аналогичные рассуждения, получим, что все числа (1) и бесконечная десятичная дробь будут иметь отрицательный знак.

Таким образом, мы установили, что посредством описанного измерения отрезка ОМ любой точке М числовой оси можно поставить в соответствие вполне определенную бесконечную десятичную дробь.

Итак, описанный выше процесс приводит нас к рассмотрению чисел, представимых в виде бесконечных десятичных дробей.

Вместе с тем каждая бесконечная десятичная дробь (2) полностью характеризуется бесконечной совокупностью (1) рациональных чисел, приближающих эту дробь.

Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей. Числа, представимые этими дробями, будем называть вещественными. Множество всех вещественных чисел будем обозначать через R.

Данное вещественное число мы будем считать положительным (отрицательным), если оно представимо в виде положительной (отрицательной) бесконечной десятичной дроби.

В состав множества вещественных чисел входят и все рациональные числа, ибо все они представимы в виде бесконечных десятичных дробей. Так, рациональному числу ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь 0,4999...9..., рациональному числу - бесконечная десятичная дробь 1,333...3... .

Вещественные числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными.

На случай привольных вещественных чисел переносятся три правила и все основные свойства рациональных чисел, перечисленные выше. Тем самым для вещественных чисел обосновываются все правила элементарной алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств.