1.4.2.3. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность

.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 2. Бесконечно малая последовательность ограниченна.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Замечание 1. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла:

1. Если, например, _n = 1/n и _n = 1/n, то все элементы последовательности _n / _n  равны 1.

2. Если _n = 1/n, _n = 1/n² , то _n / _n Б.

3. Если _n = 1/n², _n = 1/n, то _n / _n .

При определении частного двух последовательностей предполагается, что у последовательности _n  все элементы _n отличны от нуля, начиная с некоторого номера.

Теорема 4. Если все элементы бесконечно малой последовательности _n равны одному и тому же числу с, то с=0

.

Теорема 5. Если последовательность x_n является бесконечно большой, то начиная с некоторого номера n определена последовательность 1/x_n, которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности _n не равны 0, то последовательность 1/_n является бесконечно большой.

1.4.2.4. Сходящиеся последовательности. Основные определения

Определение 1. Последовательность x_n называется сходящейся (x_nс), если существует такое действительное число а, что последовательность x_n - а является бесконечно малой последовательностью

Замечание. Исходя из этого определения следует, что всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

Определение 2.

Очевидно, что неравенство  x_n - а< эквивалентно неравенствам

- x_n -а   или а- x_n а+ , которое означает, что некоторый элемент x_n последовательности  x_n  принадлежит , окрестности числа а, поэтому определение сходящейся последовательности можно дать следующим образом:

Определение 3. Последовательность x_n называется сходящейся, если существует действительное число а такое, что в любой  - окрестности числа а находятся все элементы последовательности x_n начиная с некоторого номера. Число а, фигурирующее в определениях, называется пределом последовательности x_n.

Символическая запись существования предела последовательности x_n, равного а, записывается так : , или x_nа при n .

Бесконечно большие последовательности иногда называются последовательностями, сходящимися к бесконечности, поэтому если x_nБ, то символически это записывается следующим образом: = , или x_n  при n .

Если элементы бесконечно большой последовательности начиная с некоторого номера имеют определенный знак, то говорят, что x_n сходится к бесконечности определенного знака = +

или = - .

Замечание 1. Из определения 1 сходящейся последовательности вытекает, что последовательность x_n - а. Обозначая элементы этой последовательности через _n, _n= x_n -а, мы получим, что любой элемент x_n сходящейся последовательности x_n, имеющей пределом число а, может быть представлен в виде x_n =a+_n, где _{n -} элемент бесконечно малой последовательности.

Замечание2. Из определения предела последовательности вытекает, что конечное число элементов не влияет на сходимость этой последовательности и на величину ее предела.

Пример. Покажем, что последовательность 1+ (-1)ⁿ/nсходится. Пределом этой последовательности является число 1. Для доказательства достаточно показать, что последовательность x_n - а= (-1)ⁿ/n. В самом деле, если n  n₀ , то поэтому по данному >0 следует выбрать номер n₀ такой, чтобы выполнялось условие 1/n₀ <, т.е. n₀ =1+1, где x- целая часть числа x - т.е. наибольшее целое число, не превышающее x.

(Например, 6,187=6; -5,87=-6 ).

В качестве n₀ можно взять и любой номер 1+к, где к>1.

Определение 4. Последовательность x_n называется фундаментальной (x_n), если для любого положительного числа  найдется номер n₀ такой, что для всех номеров n , удовлетворяющих условию n  n₀ , и для всех натуральных чисел р(р=1, 2, . . . ), все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству

Сформулируем без доказательства Критерий Коши о необходимом и достаточном условии сходимости последовательности.

Теорема. Для того, чтобы последовательность x_n была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.