1.4.3.6. Допустимые области определения функций

Рассмотрим бесконечное множество {x}R и точку аR.

Определение. Точка а называется предельной для множества {x}, если в любой -окрестности т. а имеются точки множества {x}, отличные от а.

Замечание 1. Сама точка может принадлежать множеству {x}, а может и не принадлежать этому множеству.

Пример 1. {x}=[0,1], a=0

Пример 2. {x}=(-1,1)\{0}, a=0

рис.3

Замечание 2. Множество (а-, а+)\{a}, где >0, называют проколотой -окрестностью т. а. (Обозначение ).

Мы будем рассматривать функции y=f(x), определенные на множестве {x}, для которого точка а является предельной.

1.4.3.7. Определение предела функции в точке

Определение 1. Последовательность {x} называется последовательностью Гейне (для точки а и множества {x}), если x_n x, xa, x_na.

Определение 2. (определение предела по Гейне) Число b называется пределом функции y=f(x) в точке , если для любой последовательности Гейне {x_n}соответствующая последовательность значений функций {f(x_n)}сходится к числу b.

Таким образом, для доказательства того, что функция y=f(x) не имеет предела в т. а (в смысле определения по Гейне), достаточно указать две последовательности Гейне {x¹_n}и {x¹¹_n}, для которых

Пример 1. Функция Дирихле y=D(x) не имеет предела в т. =0.

Действительно,

.

Пример 2. Функция y=sgnx не имеет предела в т. а=0.

Определение 2. * (определение предела по Коши). Число b называется пределом функции y=f(x) в точке а, или при xa ( ), если для любого положительного числа  найдется положительное число  такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих условию 0<x-a, будет выполняться неравенство f(x)-b .

.

Замечание 1. Условия x_n a и 0<x-a в определениях 2 и 2* исключают из рассмотрения т. а. В этой точке функция y=f(x) может быть не определена, либо ее значение может быть отличным от b. Таким образом, предел функции в т. а не зависит от значения функции в этой точке.

Замечание 2. Условие 0<x-a< (a- < x < a+)(xa)  x принадлежит проколотой  - окрестности т. а. Условие f(x)-b  b-< f(x)<b+  f(x) принадлежит  - окрестности т. b. Это условие означает, что точки графика функции y=f(x) с координатами (x, f(x)) попадают в  полоску {b-<y<b+} прямой y=b.

Рис. 4

Замечание 3. В определении 2* достаточно найти = () только для малых >0. Так как из неравенства ₁ < ₂ и f(x)-b₁ , очевидно, следует неравенство f(x)-b₂ для тех же значений x (и, следовательно, для (₂)= (₁)).

С другой стороны, если () найдено лишь для достаточно больших , то этого может быть недостаточно для существования предела функции (см. рис.5)

Рис. 5

Очевидно, для ₁>0 нельзя найти (₁), для которого при всех x из проколотой (₁) - окрестности т. а график попадал бы в ₁ - полоску y=b. (Для ₂>0 такое (₂) существует).

Замечание 4. Если в определении 2* по данному > 0 найдено = ()>0,

то любое ₁ : 0<₁ <() такое можно взять в качестве . Действительно, 0<x-a<₁  0<x-a<() f(x)-b . Отсюда следует, что в определении 2* не нужно искать наибольшее возможное значение  по данному значению > 0.

Замечание 5. Определение 2* можно сформулировать следующим образом: , если для любой  - окрестности точки b , существует такая - окрестность т. а, что для всех значений аргумента x, принадлежащих этой - окрестности и отличных от а, значение функции f(x) попадает в  - окрестность т. b.

Замечание 6. В определении предела требуется существование симметричной окрестности (- окрестности) точки а, но для  - окрестности т. b, может существовать несимметричная большая окрестность. (см. рис. 2).

Теорема. Определения 2 и 2*предела функции по Гейне и Коши эквивалентны.

Пример 3. Доказать по определению, что .

Запишем определение предела по Коши для данной функции.

Задача состоит в том, чтобы по  найти , при котором справедлива эта импликация.

Рассмотрим неравенство x³ +x-10<  и будем искать часть множества его решений вида x-2< h(), тогда h() можно будет взять в качестве .

x³ + x-10= x³ - 8+ x-2=(x-2)(x² +2x+4+1)

x³ + x-10< E x-2x² +2x +5.

Рассмотрим сегмент [1, 3] , на котором функция x²+2x+5 является ограниченной: x² +2x+5 9+6+5=20, тогда

Отсюда, в качестве  можно взять Число 1, т.к. x1,3. Таким образом, условие ограниченности x² +2x +5, а следовательно, возможность сведения неравенства x³ +x-10<  к более простому повлекло за собой ограничение области изменения x , т.е. ограничение на величину  сверху. Если  мало (например, <1), то , т.е. ограничение 1 не является существенным. Далее заметим, что даже при малых >0 число не является наибольшим возможным . Однако, как мы уже отмечали, наибольшее  в определении предела и не нужно.