1.4.3.8. Односторонние пределы

Определение 1. (предел f(x) слева в т. а. Обозначение f(a-0)).

Определение 2. (предел f(x) справа в т. а. Обозначение f(a+0)).

Пример 3. f(x)=sgn x, a=0,

(т.к. f(x)=1 при x>0).

(т.к. f(x)=-1 при x<0).

Односторонние пределы существуют, в то время как предел функции y=sgn x в точке 0 не существует.

Замечание. , т.е. справедлива теорема: Если в точке а правый и левый пределы функции равны, то в точке а существует предел этой функции, равный указанным односторонним пределам.

Действительно, если неравенство f(x)-b в определении предела справедливо при a<x<a+ и a-  <x<a, то оно будет справедливо и при 0<x-a<.

1.4.3.9. Пределы на бесконечности

Определение 1. (предел f(x) при x).

Определение 2. (предел f(x) при x+).

Определение 3. (предел f(x) при x- ).

Задача. Сформулировать определения 4-6 пределов по Гейне.

Замечание. Предел последовательности- частный случай предела функции {x}=N, x.

Замечание. Определения односторонних пределов получаются как частный случай определения предела функции, если область определения функции {x} представляет собой правую (левую) полуокрестность т. а (или, соответственно, правую (левую) полупрямую) (см. рис.3 п.1.4.3.6.).

1.4.3.10. Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Теорема 1 .

(3)

Доказательство:

Пусть {x_n}- произвольная последовательность Гейне, тогда . Но по теоремам о пределах суммы, разности, произведения и частного для последовательностей следует

Так как {x_n}- произвольная последовательность Гейне, то по определению Гейне справедливы равенства (1)-(3).

Замечание. Доказательство для случаев x   , x  проводятся по той же схеме.

Пример. Найти предел функции :

Теорема о пределе частного сразу не применима, т.к. Но так как x1, то

1.4.3.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Пусть y=(x) определена на {x} и а - предельная точка для {x}.

Определение 1. Функция (x) называется бесконечно малой в точке а (при xа), если (обозначение: (x)=o(x)).

Определение 2. (по Гейне). Функция (x) называется бесконечно малой функцией в точке а, если

Определение 3. (по Коши).

.

Замечание 1. Через (x₀) будем обозначать класс бесконечно малых в точке x₀ функций.

Теорема 1. Для того, чтобы функция y=f(x) имела равный b предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы функция (x)=f(x)-b являлась бесконечно малой в точке a.

Необходимость. Пусть , тогда рассмотрим функцию (x)=f(x)-b. Так как , то , т.е. (x)(a).

Достаточность. Пусть , тогда f(x)= (x)+b и , т.е. .

Определение 4. Функция y=f(x) называется бесконечно большой в точке a (f(x)B(a)), если .

Обозначение: .

Аналогично даются определения .

Пример. является бесконечно большой в т. a=0.

Действительно, следующая импликация определения очевидна:

.

Кроме того, .

Определение 5.

.

Определение 6.

.

Аналогично даются определения:

Пусть (x) и (x) - бесконечно малые в т. a функции, тогда

1) (x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем (x), если (Обозначения: (x)=o((x))). Читается:  есть o малое от .

2) (x) и(x) называются бесконечно малыми одного порядка в т. a, если (Обозначения (x)=0((x))). Читается:  есть 0 большое от .

3) (x) и(x) называются эквивалентными бесконечно малыми в т. а, если (Обозначения: (x)~((x)).

4) Бесконечно малая в т. а функция (x) имеет порядок малости m относительно некоторой бесконечно малой в т. а функции (x), если .

Замечание 2. Если не существует , то (x) и(x) называют несравнимыми бесконечно малыми функциями.

Из определения 5 вытекают следующие утверждения:

1) o()o()=o();

2) =o() o()o()=o();

3) =o(1), =o(1) =o(),=o().

Докажем, например, утверждение 2). В силу утверждения 1) для этого достаточно доказать, что .

Пусть o. Это значит, что Нужно доказать, что Доказательством является целая цепочка равенств

Докажем еще одно утверждение:

4) ~ oo

Доказательство: а) ~ o (см. теорему этого пункта)

В силу утверждения 3) o(x)(x)= o(), поэтому

б)

Но в силу определения o(), поэтому .

Аналогично доказывается, что ~   o.

Таким образом, если (x)~(x), то (x) приближает функцию (x) при xа (и наоборот).

Замечание. Свойство 1) o()-o()=o() означает следующее:

₁=o(), ₂=o() ₁ - ₂=o(). [₁ - ₂ 0, вообще говоря, т.к. это разные функции, обозначенные одним символом o()].

Аналогично бесконечно малым сравниваются бесконечно большие в данной точке функции.

Пусть тогда

1) А(x) имеет в т. а более высокий порядок роста, чем В(x), если

2) А(x) и В(x) имеют в т. а одинаковый порядок роста, если

3) Бесконечно большая функция А(x) в точке а называется величиной к-го порядка относительно бесконечно большой функции В(x), если

4) А(x) и В(x) называются эквивалентными в точке а, если

.

5) Если не то А(x) и В(x) называются несравнимыми.

Замечание 2. Эти определения сохраняются для бесконечно больших функций в точке а слева и справа.

Пример. 1) (x)=x³ - x⁵ , (x)=5x³ +x⁴ , x. Эти функции бесконечно малые в т. x=0 одного порядка; действительно,

2) - бесконечно большие одинакового порядка роста при x, действительно,

.