Кванторы.

Иногда удобно представить некоторые словесные выражения посредством символов.

 - каково бы ни было, для любого (квантор всеобщности).

 - существует (квантор существования).

-для любого x выполняется предложение .

Символом “:” будем обозначать следующую группу слов: “такое, что”, “удовлетворяет условию”, выполняется”.

Отрицание высказываний, содержащих кванторы

Отрицание под знаком  или  превращает его, соответственно, в знак  или  и переносится на свойство, стоящее после двоеточия.

Пример 1.

Пусть имеем высказывание:

(x x   (для любого x из множества А имеет место неравенство x  ). Если высказываемое утверждение не имеет места, то следовательно, неравенство x   выполняется не для каждого x, значит существует элемент x, для которого неравенство x   не выполняется.

.

Операции над множествами Объединение ав множеств а и в

Множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств, называется объединением множества А и В. Указанное определение легко распространяется на случай трех и более множеств

АВ заштриховано на диаграмме.

Пример 1.

А1,2,3,4,5,

В1,2,

АВ=1,2,3,4,5.

Множество АВ по определению не содержит неразличимых элементов и, следовательно, элементы 1 и2, входящие в множества А и В, входят в АВ один раз.

Пересечение АВ множеств А и В есть множество элементов, принадлежащих и А и В.

АВ заштриховано на диаграмме.

Пример 2.

А1,2,3,4,5; В1,2

АВ=1,2

Два множества А и В называются непересекающимися, если АВ=0.

Разность А\В множеств А и В

Разностью множеств А и В называется совокупность тех элементов А, которые не содержатся в В.

А\В заштриховано на диаграмме.

Пример 3.

А=1,2,3,4,5, В=1,2

А\В=3,4,5.

Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств

Если каждому элементу множества А сопоставлен единственный элемент множества В и при этом всякий элемент множества В сопоставляется одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

Множества, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными. Это записывается следующим образом : А~В. Eсли два множества эквивалентны, то говорят, что они равномощны, или имеют одну и ту же мощность.

Прямое произведение двух множеств

Пусть имеются два множества А и В и пусть аА, bB. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (а,b) составляет новое множество, называемое прямым произведением А и В. Прямое произведение обозначается АВ.

1.4.1.2.Вещественные числа и их изображение на числовой оси Основные свойства рациональных чисел

Основным понятием математики являются числа натурального ряда:

которые появились в результате счета предметов.

Целые числа :

Рациональным числом называется число, представимое в виде отношения двух целых чисел (q0; p и q- целые числа).

Отметим при этом, что одно и то же рациональное число представимо в виде отношения различных целых чисел . Множество всех рациональных чисел будем обозначать через Q, тогда

В курсе элементарной математики вводились определения операций сложения и умножения рациональных чисел, давалось правило сравнения этих чисел, доказывались простейшие свойства.

Поэтому перечислим без доказательства основные свойства рациональных чисел, вытекающие из соответствующих свойств целых чисел.

Главную роль среди свойств играют три правила:

- правило сравнения;

- правило образования суммы;

- правило образования произведения.

1. Правило сравнения: любые два рациональные числа а и b связаны одним и только одним из трех знаков   , причем если аb, то b а.

Правило сравнения рациональных чисел формулируется так: два неотрицательных рациональных числа связаны тем же знаком, что и два целых числа ; два неположительных рациональных числа а и b связаны тем же знаком, что и два неотрицательных числа b и а ; если а - неотрицательное, а b - отрицательное число, то аb.

Правило сравнения обладает следующим свойством:

1. (из аb и bс) ас (свойство транзитивности знака );

(из а=b и b=с) а=с (свойство транзитивности знака =).

II. Правило образования сумм.

Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их суммой и обозначаемое символом с=а+b.

Правило образования суммы рациональных чисел определяется формулой . Операция нахождения суммы называется сложением.

Правило сложения рациональных чисел обладает следующими свойствами:

2. а+b=b+а (коммутативность, или переместительное свойство);

3.(а+b)+c=а+(b+c) (ассоциативность, или сочетательное свойство);

4. (особая роль нуля);

5. ; число а¹ называется противоположным для числа а.

III. Правило образования произведения.

Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их произведение и обозначаемое символом с=аb.

Правило образования произведения рациональных чисел

определяется формулой .

Операция нахождения произведения называется умножением. Свойства правила умножения рациональных чисел:

6. (переместительное свойство);

7. (сочетательное свойство);

8. (особая роль единицы);

9. рациональное число а^- называется обратным рациональному числу а.

Свойство, связывающие правила сложения и умножения:

10. (распределительное свойство умножения относительно суммы).

Свойства, связывающие знак  со знаком сложения и умножения:

11.

12.

Последнее свойство, называемое аксиомой Архимеда, формулируется следующим образом.

Каково бы ни было рациональное число а, можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзойдет а.

Из вышеперечисленных основных свойств рациональных чисел могут быть получены как следствие все другие алгебраические свойства этих чисел, относящиеся как к арифметическим действиям, так и к сочетанию равенств и неравенств.