- •Н. Л. Кузнецова, а. В. Сапожникова
- •Предисловие
- •Методические материалы Рабочая программа дисциплины Пояснительная записка
- •Рабочая программа дисциплины
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Рекомендации по самостоятельной работе студента
- •Глава 1. Введение. Основы теории вероятностей и
- •1.1. Элементы теории вероятностей
- •1.2. Элементы финансовой математики
- •Приведенная ценность
- •Оценивание серии платежей Детерминированные ренты
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Характеристики продолжительности жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •2.1. Время жизни как случайная величина
- •2.2. Остаточное время жизни
- •2.3. Округленное время жизни
- •2.4. Таблицы продолжительности жизни
- •2.5. Приближения для дробных возрастов
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Теория страхования на основе использования
- •Связанных с этими таблицами характеристик и функций Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •3.1. Страхование на чистое дожитие
- •3.2. Страхование рент
- •3.3. Страхование жизни
- •3.4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год
- •3.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами
- •3.6. Страховые премии
- •Нетто-премии для элементарных видов страхования
- •Нетто-премии для пенсионных планов
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Модели краткосрочного страхования жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •4.1. Анализ моделей краткосрочного страхования жизни
- •4.2. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном страховании жизни
- •4.3. Точный расчет характеристик суммарного ущерба
- •4.4. Приближенный расчет вероятности разорения
- •4.5. Принципы назначения страховых премий
- •4.6. Перестрахование. Сущность и разновидности договоров перестрахования
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 5. Модели долгосрочного страхования жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Практикум Указания по выполнению практических заданий
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Задания для контроля
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Тесты для самоконтроля
- •Ключи к тестам для самоконтроля
- •1.Кривая смертей задана формулой . Функция выживания равна
- •Решение.
- •5. Мужчина в возрасте 40 лет покупает за 100000 рублей пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная ставка . Величина ежегодных выплат равна
- •Решение.
- •Вопросы к зачету
- •Список источников информации
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
2.2. Остаточное время жизни
Страховая компания имеет дело с конкретными людьми, дожившими до определенного возраста. Статистические свойства времени жизни таких людей существенно отличаются от свойств времени жизни новорожденных. Если человек в возрасте лет обратился в страховую компанию (в актуарной математике такого человека обозначают ), то заведомо известно, что он дожил до лет, и поэтому все случайные события, связанные с этим человеком, должны рассматриваться при условии, что .
Для человека в возрасте лет обычно рассматривают не продолжительность жизни , а остаточное время жизни . Распределение случайной величины – это условное распределение величины при условии, что :
Соответствующая функция выживания определяется формулой
,
так что плотность случайной величины может быть найдена по формуле:
, .
Интенсивность смертности, связанная с величиной , есть
.
Это соотношение означает, что интенсивность смертности спустя время для человека, которому сейчас лет, равна интенсивности смертности в возрасте для новорожденного. Другими словами, интенсивность смертности в данном возрасте не зависит от уже прожитых лет.
Основные величины, связанные с остаточным временем жизни
Вероятность (т.е. вероятность смерти человека возраста в течение ближайших лет) в актуарной математике обозначается . Тогда
Дополнительная вероятность (т.е. вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по меньшей мере лет) в актуарной математике обозначается :
Случай играет особую практическую роль и встречается наиболее часто. Для него принято опускать передний индекс у переменных и . Таким образом, символ обозначает вероятность того, что человек в возрасте лет умрет в течение ближайшего года, а символ обозначает вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по крайней мере один год. Тогда
,
С помощью вероятностей можно вычислить и более общие вероятности :
.
Рассмотрим теперь более общее событие, заключающееся в том, что человек возраста проживет еще лет, но умрет на протяжении последующих лет, т.е. . Его вероятность обозначается :
.
Случай представляет особый интерес для приложений к страхованию жизни. Как обычно соответствующий индекс принято опускать. Таким образом, – это вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще лет, но умрет на протяжении следующего года.
.
Макрохарактеристики остаточного времени жизни
Среднее значение остаточного времени жизни человека в возрасте лет обозначается и называется полной ожидаемой продолжительностью жизни:
.
Второй момент можно найти по формуле:
.
Среднее остаточное время жизни можно выразить и через другие характеристики времени жизни. Для этого рассмотрим группу из новорожденных и обозначим через суммарное число лет, прожитых представителями этой группы в возрасте и более. Таким образом, если время жизни i-того представителя группы, , меньше чем , его вклад в сумму равен нулю. Если же , то вклад в сумму равен .
Тогда
.
Среднее значение величины , где – некоторая положительная константа, называют частичной средней продолжительностью жизни и обозначают .