- •Н. Л. Кузнецова, а. В. Сапожникова
- •Предисловие
- •Методические материалы Рабочая программа дисциплины Пояснительная записка
- •Рабочая программа дисциплины
- •Содержание дисциплины
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Рекомендации по самостоятельной работе студента
- •Глава 1. Введение. Основы теории вероятностей и
- •1.1. Элементы теории вероятностей
- •1.2. Элементы финансовой математики
- •Приведенная ценность
- •Оценивание серии платежей Детерминированные ренты
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Характеристики продолжительности жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •2.1. Время жизни как случайная величина
- •2.2. Остаточное время жизни
- •2.3. Округленное время жизни
- •2.4. Таблицы продолжительности жизни
- •2.5. Приближения для дробных возрастов
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Теория страхования на основе использования
- •Связанных с этими таблицами характеристик и функций Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •3.1. Страхование на чистое дожитие
- •3.2. Страхование рент
- •3.3. Страхование жизни
- •3.4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год
- •3.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами
- •3.6. Страховые премии
- •Нетто-премии для элементарных видов страхования
- •Нетто-премии для пенсионных планов
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Модели краткосрочного страхования жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •4.1. Анализ моделей краткосрочного страхования жизни
- •4.2. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном страховании жизни
- •4.3. Точный расчет характеристик суммарного ущерба
- •4.4. Приближенный расчет вероятности разорения
- •4.5. Принципы назначения страховых премий
- •4.6. Перестрахование. Сущность и разновидности договоров перестрахования
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 5. Модели долгосрочного страхования жизни Указания по самостоятельному изучению темы Цели
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Практикум Указания по выполнению практических заданий
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Задания для контроля
- •Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики
- •Тема 2. Характеристики продолжительности жизни
- •Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций
- •Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни
- •Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни
- •Тесты для самоконтроля
- •Ключи к тестам для самоконтроля
- •1.Кривая смертей задана формулой . Функция выживания равна
- •Решение.
- •5. Мужчина в возрасте 40 лет покупает за 100000 рублей пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная ставка . Величина ежегодных выплат равна
- •Решение.
- •Вопросы к зачету
- •Список источников информации
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
3.6. Страховые премии
Основные определения
Ранее была рассмотрена теория страховых выплат для различных видов страхования жизни и была определена единовременная стоимость страховых выплат на момент заключения договора. Однако долгосрочные контракты по страхованию жизни оплачиваются единовременным взносом только в редких случаях – слишком велика их стоимость. Как правило, страховая премия уплачивается в рассрочку – ежегодно, ежеквартально, ежемесячно. Если при единовременной оплате страхователь полностью выполняет свои обязательства на момент заключения договора, то при периодической уплате взносов они выполняются в рассрочку. Очевидно, что от способа уплаты страховой премии страхователем стоимость обязательств страховщика никак не зависит.
При расчете величины периодически уплачиваемых взносов необходимо учитывать как процентный доход от их инвестирования, так и демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает существенное влияние на величину взносов, поскольку далеко не все страхователи успевают до наступления смерти уплатить все предусмотренные контрактом взносы. Если величина периодически уплачиваемых взносов постоянна, то совокупность этих взносов представляет собой постоянную ренту платежей. В связи с тем, что договор страхования вступает в силу только после получения первого взноса, рента страховых платежей всегда является приведенной (рента постнумерандо).
Основа для расчета величины страховых взносов – условие равенства обязательств страховщика и страхователя на момент заключения договора: ожидаемая текущая стоимость предстоящих страховых выплат должна быть равна ожидаемой текущей стоимости предстоящих текущих взносов. Если договор страхования сроком на лет заключен в возрасте , ожидаемая текущая стоимость страховых выплат равна , а неизвестная величина ежегодных страховых взносов равна , то это равенство имеет вид
, (1)
где – ожидаемая текущая стоимость ренты с ежегодными платежами единичной величины.
Отсюда ежегодный взнос
. (2)
Формула (2) показывает, во сколько раз величина ежегодного взноса меньше величины единовременно уплачиваемого взноса, поэтому величину часто еще называют коэффициентом рассрочки. Если уменьшение численности страхователей и процентный доход от взносов равны нулю ( , то коэффициент рассрочки будет в точности равен продолжительности срока платежей .
Часто период уплаты страховой премии составляет лишь часть срока действия договора страхования. В течение периода уплаты страховой премии страхователь обязан полностью внести подлежащие уплате взносы, т.е. полностью выполнить свои обязательства. Срок уплаты премий будем обозначать буквой . Первая премия вносится в начале первого года страхования, последняя – в начале -ого года. Величина ежегодного взноса определяется тогда формулой
. (3)
Период от даты уплаты последнего взноса до первой (или единственной) страховой выплаты называют выжидательным. При страховании капитала на дожитие выжидательный период продолжается до окончания срока договора страхования. При страховании ренты выжидательный период заканчивается с началом периода выплат ренты.