Тема 2. Характеристики продолжительности жизни

Задача 2.1. Используя таблицу смертности, вычислить вероятность для тридцатилетнего мужчины не дожить до 60 лет.

Решение.

Вероятность для человека возраста лет умереть в течение ближайших лет равна

.

Тогда искомая вероятность

.

Задача 2.2. Рассмотрим семейную пару, в которой жене 30 лет, а мужу 37 лет. Какова вероятность того, что они проживут еще по крайней мере 30 лет?

Решение.

Искомая вероятность представляет собой произведение вероятностей событий «жена проживет по крайней мере 30 лет» и «муж проживет по крайней мере 30 лет». Тогда

.

Задача 2.3. Функция выживания задана формулой , . Найти:

1. интенсивность смертности в возрасте 30 лет;

2. вероятность того, что человек возраста 40 лет умрет в возрасте от 60 до 65 лет.

Решение.

1. Интенсивность смертности равна

.

Тогда

;

.

2. Вероятность того, что человек возраста лет проживет еще лет, но умрет на протяжении последующих лет, равна

.

Тогда искомая вероятность равна

.

Задача 2.4. Интенсивность смертности имеет вид . Найти функцию выживания .

Решение.

Функция выживания через интенсивность смертности определяется по формуле

.

Тогда

Задача 2.5. Кривая смертей имеет вид . Найти:

1. функцию выживания ;

2. дисперсию времени жизни .

Решение.

1. Найдем неизвестный коэффициент из условия

.

Функция выживания

.

2. Дисперсия времени жизни вычисляется по формуле

.

.

.

Задача 2.6. Найти вероятность того, что 50-летний мужчина проживет еще полгода после своего дня рождения при предположении:

1. равномерного распределения смертей;

2. Балдуччи.

Решение.

1. В предположении равномерного распределения смертей искомая вероятность равна

.

Используя данные таблицы смертности, получим

.

2. В предположении Балдуччи искомая вероятность равна

.

Используя данные таблицы смертности, получим

.

Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц продолжительности жизни и связанных с этими таблицами характеристик и функций

Задача 3.1. Известно, что , , , эффективная годовая процентная ставка . Возраст человека на момент заключения договора 50 лет. Найти актуарную современную стоимость трехлетней временной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года в размере 50000 рублей.

Решение.

Актуарная современная стоимость временной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года для суммы в одну денежную единицу равна

,

где – коэффициент дисконтирования.

Тогда искомая величина, обозначим ее , равна

.

.

.

Задача 3.2. Родители семилетней девочки оформляют договор на оплату высшего образования ребенка, по достижению им 18 лет. Срок обучения 5 лет, стоимость 90000 рублей в год. Эффективная процентная ставка . Найти стоимость полиса.

Решение.

Стоимость полиса равна

,

Где – актуарная современная стоимость отложенной временной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года для суммы в одну денежную единицу.

– отложенная на лет временная пожизненная рента для человека возраста лет, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).

Тогда .

.

Задача 3.3. Мужчина в возрасте 45 лет покупает за 120000 рублей пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная ставка . Найти величину ежегодных выплат.

Решение.

Величина ежегодных выплат, обозначим ее , равна

.

– актуарная современная стоимость отложенной пожизненной ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).

.

.

Задача 3.4. Мужчина в возрасте 50 лет приобрел пожизненный страховой полис, по которому в случае его смерти наследники должны получить 100000 рублей. Эффективная процентная ставка . Найти стоимость полиса.

Решение.

Стоимость полиса, обозначим ее , равна

.

– ожидаемая текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых в момент смерти, для пожизненного страхования.

.

.

Задача 3.5. Мужчина в возрасте 60 лет приобрел пожизненную ренту с выплатой 40000 рублей в конце каждого года. Эффективная процентная ставка . Найти стоимость полиса.

Решение.

Стоимость полиса, обозначим ее , равна

.

– актуарная современная стоимость пожизненной ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).

.

.

Задача 3.6. Страхователь в возрасте 40 лет заключил договор, согласно которому, начиная с 65 лет, пожизненно будет выплачиваться пенсия в размере 50000 рублей в начале каждого года. Эффективная процентная ставка . Найти величину годовых взносов, которые будут уплачиваться страхователем с 40 до 65 лет.

Решение.

Искомая величина годовых взносов, обозначим ее , равна

.

Где – величина ежегодного взноса, рассчитанная на сумму в одну условную единицу.

.

Задача 3.7. Мужчина в возрасте 40 лет покупает за 100000 рублей пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная ставка . Найти величину ежегодных выплат.

Решение.

Искомая величина ежегодных выплат равна ,

где – актуарная современная стоимость пожизненной отложенной ренты.

.

Тогда величина ежегодных выплат равна .

Задача 3.8. Страхователь (женщина) в возрасте 47 лет заключил пожизненный договор страхования с условием ежегодной уплаты взносов, пока он жив. Страховая сумма составляет 150000 рублей, эффективная процентная ставка . Найти величину годовых взносов.

Решение.

Искомая величина годовых взносов равна ,

где – величина годового взноса с единичной страховой суммы.

.

Величина годовых взносов тогда равна .

Задача 3.9. Родители пятилетнего мальчика приобрели полис по оплате получения ребенком высшего образования по достижению им 18 лет. Срок обучения 5 лет, стоимость 110000 рублей в год. Эффективная процентная ставка . Найти величину ежегодных взносов.

Решение.

Искомая величина ежегодных взносов равна ,

где – величина ежегодного взноса для отложенной срочной ренты.

.

Тогда величина ежегодных взносов равна .